资源描述：
《数值计算方法复习提纲.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、.数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。1、误差的来源模型误差观测误差截断误差舍入误差2误差与有效数字***绝对误差E（x）=x-x绝对误差限xxx***相对误差E(x)(xx)/x(xx)/xr有效数字*mx0.a1a2....an10*1mn*若xx10，称x有n位有效数字。2有效数字与误差关系（1）m一定时，有效数字n越多，绝对误差限越小；*1(
2、n1)（2）x有n位有效数字，则相对误差限为Er(x)10。2a1选择算法应遵循的原则1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；11nx例Inxedxe01In1nIn1I01e△xn!△xn02、简化计算步骤，减少运算次数；3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免..第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，J
3、acobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。本章主要解决线性方程组求解问题，假设n行n列线性方程组有唯一解，如何得到其解？a11x1a12x2...a1nxnb1a21x1a22x2...a2nxnb2...an1x1an2x2...annxnbn两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。一、Gauss消去法1、顺序Ｇauss消去法记方程组为：(1)(1)(1)(1)a11x1a12x2...a1nxnb1
4、(1)(1)(1)(1)a21x1a22x2...a2nxnb2...(1)(1)(1)(1)an1x1an2x2...annxnbn消元过程：经ｎ－１步消元，化为上三角方程组(1)(1)a11x1b1(2)(2)(2)a21x1a22x2b2...(n)(n)(n)(n)an1x1an2x2...annxnbn第ｋ步(k)若a0kk(k)(k)(k1)(k)aik(k)(k1)(k)aik(k)aijaij(k)akjbibi(k)bkk1,...n1i,jk1,....,nakkakk回代过程
5、：..(n)(n)xnbn/annn(i)(i)(i)xi(biaijxj)/aii(in1,n2,...1)ji1２、Ｇauss—Ｊｏｒｄａｎ消去法避免回代，消元时上下同时消元３、Ｇauss列主元消去法例：说明直接消元，出现错误0.00001x2x212x1x23由顺序Ｇauss消去法，得x21,x10；Ｇauss列主元消去法原理：每步消元前，选列主元，交换方程。算法：将方程组用增广矩阵AMbaij表示。n(n1)（1）消元过程：对k=1,2,n-1,选主元，找ik{k,k1,,n}使得ai,k
6、maxaikkkin如果ai,k0，则矩阵A奇异，程序结束；否则执行3。k如果ikk，则交换第k行与第ik行对应的元素位置，akjaij,jk,ggg,n1.kaik消元，对i=k+1,L,n,计算lik,对j=L+1,L,n+1,计算akkaijaijlikakj（2）回代过程：1．若ann0,则矩阵A奇异，程序结束；否则执行。an,n12xn;对in1,L,2,1,计算annnai,n1aijxjji1xiaii..举例说明。4、消元法应用（1）行列式计算；（2）矩阵求逆。二、利用矩阵三角分解
7、求解线性方程组1、求解原理线性方程组写成矩阵形式为：AX=b若A=LU，则LUX=b，记UX=Y则LY=b若L、U为特殊矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。2、Doolittle分解L为下三角矩阵,U为上三角矩阵,不一定能分解,分解也不一定唯一;设L或U是单位三角矩阵,若能分解,则可分解唯一.L是单位下三角矩阵,称为Doolittle分解;U是单位上三角矩阵,称为Crout分解；定理:n阶矩阵A有唯一分解的充要条件为A的前n-1阶主子式都不为0.Doolittle分解算法：a11a
8、12...a1n1u11u12...u1na21a22...a2nl211u22...u2n...........................an1an2...annln1ln2...1unn由矩阵乘法：naijlikukjk1得到：k1ukjakjlkrurjjk,k1,...n;r1k1lik(aiklirurk)/ukkik,k1,...nr1算法特点：先计算U的行，再计算L的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。矩阵分解后，解两个三角方程组：LY=b，UX=Y..y1b1i
