线性代数课件-4.2向量的内积 4.3正交矩阵.ppt

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1、§4·2向量的内积上堂课主要内容：对向量1、内积：2、向量的长度：设当时，称为单位向量3、单位向量：4、正交：如果向量与满足，则称向量与正交。取向量，二、主要性质向量内积的性质：且等号成立设均为n维向量，为实数，则定义4·7对Rn中的两个n维向量称实数为向量与的内积。记为例如对向量即3向量内积的性质：且等号成立证（3）证（4）设且当且仅当即时，成立。设均为n维向量，为实数，则特别地，当时，称为单位向量例如：则，则为单位向量定义4·7设，称数把非零向量单位化：取向量，因为则为单位向量例如：将向量单位化因为取则为单位向量例如：所以与正交显然，零向量与任一向量正交定义4·9如果向量与满足，则称向量与

2、正交。【例】n维单位向量组中任两个向量都正交正交向量组两两正交的非零向量组解：设，得一个非零解即取证明：所以方程两边左乘方程两边左乘基：n维向量空间Rn中n个线性无关的向量1，2，…n称为Rn的一组基标准正交基：标准正交基非标准正交基基正交基标准正交基正交向量组正交基（1）m=n（2）（1）m=n【例】证明向量组是R4的一组标准正交基证明：因为是R4的四个向量且所以，是R4的一组标准正交基利用此组基求Rn的一组标准正交基的方法：施密特（Schmidt）正交化法：步骤一：将正交化，得一正交基取设是3维向量空间V的一组基，=0将正交化，得一正交基取则为一组单位向量组因为故两两正交即为所求的标

3、准正交基【例2】已知为R3的一组基，试由此基求出R3的一组标准正交基解：取将单位化取则为R3的一组标准正交基【例3】已知，求一组向量使为正交向量组解：设让分别取，得两个解从中取出两个线性无关的解把正交化：取，则正交因为取则为所求正交向量组对§4·3正交矩阵定义4·11如果n阶方阵A满足则称A为正交矩阵例如：E为正交矩阵。因为，则A是正交矩阵因为问题：如果n阶方阵A满足A是不是正交矩阵？是正交矩阵的性质：（2）若A为正交矩阵，则证明：因为A是正交矩阵，所以有(1)n阶方阵A为正交矩阵（4）若A为正交矩阵，则A的每一行（每一列）各元素的平方和等于1，且两个不同行（列）对应元素乘积之和为零。证明：设

4、，则有即为正交矩阵且由可得关于列的结论。(5)若A是正交矩阵，则及均为正交矩阵(6)若A、B是n阶正交阵，则AB为正交阵证明：所以，AB为n阶方阵，因为A、B是n阶矩阵，且由A、B是正交矩阵，有于是所以AB为正交矩阵【例1】设问x为何值时,A为正交矩阵解：因为若A为正交矩阵，令当时当时所以，当时，A为正交阵定理4·4n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基证明：设已知A为正交矩阵，即是Rn的一组标准正交基即要证即要证即n×11×nn×n……………………是Rn的一组标准正交基已知充分性：已知是Rn的一组标准正交基由是Rn的一组标准正交基有于是……………………故A是正

5、交矩阵定理4·4n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基小结一、主要概念对向量1、内积：2、向量的长度：设当时，称为单位向量3、单位向量：4、正交：如果向量与满足，则称向量与正交。5、正交向量组两两正交的非零向量组7、标准正交基：则称A为正交矩阵8、正交矩阵：如果n阶方阵A满足二、主要结论1、设是一组正交向量组，则必线性无关4、若A为正交矩阵，则2、n阶方阵A为正交矩阵3、如果n阶方阵A满足,则A为正交阵6、若A、B是n阶正交阵，则AB为正交阵5、若A是正交阵，则及均为正交阵7、n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是A的n个列向量构成Rn的一组标准正交基三、主要计算及判

6、断1、把非零向量单位化：取向量，向量组为正交向量组2、（2）（1）m=n方法：施密特（Schmidt）正交化法步骤一：将正交化，得一正交基取4、求一组标准正交基的方法：取则为所求的标准正交基问题1：若n阶方阵A满足或，则A为正交矩阵。问题2：若n阶方阵A的每一行（每一列）各元素的平方和等于1，且两个不同行（列）对应元素乘积之和为零，则A为正交矩阵。问题3：证明书中性质4×例如但√【例（补）】设A为n阶方阵，n为奇数，且A为正交阵，。证明：E-A不可逆证明：因为A为正交阵，有所以，E-A不可逆