线性代数 第三章向量的内积与正交矩阵d课件.ppt

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1、华南农业大学理学院应用数学系线性代数多媒体教学演示第一章矩阵与线性方程第三章向量的内积与正交矩真第五章二次型第七章Matlab软件的应用第二章向量与线性方程组第六章线性空间与线性变换第四章矩阵的特征与特征向量第三章向量的内积与正交矩阵§1向量的内积§3正交矩阵§2向量组的正交规范化向量的内积第一节对应分量乘积的和向量内积与矩阵乘法的联系3.1.1向量的内积定义运算规律性质（1）非负性（2）齐次性3.1.2向量的模定义定理1定理2规定非零的n维向量与的夹角为由于故3.1.3两个向量的夹角定义规定n维向量与的距离为3.1.4两个向量的距离

2、定义即例设求解作业复习本节内容P793.1;3.2;3.33.预习§3.2作业3.1；3.2；3.3向量组的正交规范化第二节正交向量的定义垂直的概念的推广零向量与任意同维向量都正交3.2.1正交向量组例三个向量找出它们之间相互正交的关系。解=0=0=196可见与正交，与正交，与不正交。正交向量组如果n维向量组中的向量两两正交就称为正交向量组，简称正交组。如是正交向两组命题若n维向量组是正交向量组,且不含零向量,则线性无关.证明同理可证于是向量组线性无关.命题如果矩阵A的列向量构成正交组，则是对角矩阵证明满足注：此命题的逆命题也成立。标

3、准正交组如果一个正交向量组全部由单位向量组成，就称其为标准正交向量组，简称标准正交组可以验证，构成标准正交组。是标准正交组，称为基本向量组3.2.2施密特正交化方法定理设n维向量组线性无关,令施密特正交化过程则得到的是正交向量组,且与等价等价的标准正交向量组.例把向量组S正交规范化解将即为所求的标准正交向量组.例解它的基础解系为练一练把向量组S正交规范化解将即为所求的标准正交向量组.正交矩阵第三节正交矩阵如果方阵A满足，则称A为正交矩阵正交矩阵的性质等价于定理方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量构成标准正交组。推论1方阵A为正交

4、矩阵的充分必要条件是A的行向量构成标准正交组。A是正交矩阵方阵A的列向量构成标准正交组方阵A的行向量构成标准正交组是正交矩阵例验证矩阵是正交矩阵。解令可见A的列向量构成标准正交组，因此A是正交矩阵线性变换的矩阵表示若A是正交矩阵，称此线性变换为正交变换正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离例验证平面旋转变换是正交变换。解其系数矩阵为所以A为正交矩阵，即平面旋转变换为正交变换。例求证：H是对称的正交矩阵。证明所以H是对称的正交矩阵。