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1、极限实例模型和未定式极限极限理论是微积分的基础，极限思想是微积分教学过程中的难点.本文在数学应用性教学的背景下，根据极限的未定式类型，对极限的实例模型进行了归纳总结.在大量的极限模型中，体现极限思想的关于无限变化趋势的实例非常多，经典例子如：庄子之锤、芝诺悖论、刘辉割圆术，现代例子如金属加热、室内水温、人口预测、传染病人数、放射物衰减等.在基于描述性定义的极限理论中，极限首先分数列极限和函数极限.从应用性角度讲，数列极限更利于实际应用，所以有很多关于数列极限的模型，特别是等比数列和由递推公式给定的
2、数列，如蛛网价格、买三送一商业促销、福利支出、销售量稳定性等.这类模型的极限形式基本上是和式极限，也常用单调有界原理来求解其极限.数列极限和函数极限体现了离散和连续的关系，两者在分类和方法上可以统一.数列极限可视为特殊的函数极限.一般地，在教学过程中，函数极限主要用以处理七种未定式极限，本文根据该分类对极限模型进行比较分析和总结.一、比值类型00,88在很多实际问题中，常考虑自变量趋向于无穷时函数的稳定性，或从长远角度分析函数值的变化，而这些极限往往属于88的比值类型极限.如实例模型：1)药物注射
3、后的血液中的药物浓度随时间变化函数C(t)=0.2tt2+l,其中时间t(小时)，浓度C(t)(mg/cm3),随着时间推移，血液中浓度稳定水平即为(t)=limt->oo0.2tt2+l=0.2)票房收入C(t)(百万)随时间t(月)的函数为T(x)=120x2x2+4,于是票房总收入即时间趋向于无穷时的极限值，即limt—8T(x)=limx—8120x2x2+4=120.3)逆流而上的游鱼的耗能函数为E(v)=aLv3v-u,鱼速v,路程L,水流u,与实际生活一致，鱼速有两个无限耗能情形如l
4、imv—u+E(v)=8,limv—8E(v)=°°.以上三例是88的极限类型，而00类型的极限，常分析自变量无限接近某个点时的函数值的变化趋势，函数的导数、物理中瞬时速度、曲线切线斜率、经济学中边际与弹性就是这类模型的典型实例.一般教材在引入导数时，都应用两个有重要意义的实例，用平均速度无限接近瞬时速度，用割线斜率无限接近切线斜率.4)瞬时速度：v(t0)=limt^t0v(t)tOs(t)-s(tO)t-tO,5)切线斜率：k(xO)=limx->x0k(x)=limx—x0f(x)-f(xO
5、)x~x0.二、积与差类型从数学形式上说，七种未定式可以相互转化•积与差的未定式可以由上面的比值类型换个看法即可得.但要体现数学应用性，从实际函数模型上讲，最好能说明原始的函数模型就更能体现极限的分类形式.0・8形式，说明目标函数中两个因子随自变量的某个无限变化过程时相互抑制，理论上讲，要构造符合此种无限变化的目标函数比较容易.如对护城河治理模型合理构造得到如下0•8类型极限.1)在城市发展过程中，某城市从某年开始注重对护城河的治理，初始污泥量为A,因治理水平提高，污泥量每年减少到90%,另外由于
6、城市扩张，第n年又是前一年的nnT倍，则第n年的污泥量为Sn=A•0.9n•ni=2ii-l=A・0.9n•n,当n—8时，o.9n—0,所以Sn的变化趋势属于0•°°,最终的稳定量水平即分析极限limn—8Sn=limn—°°A,0.9n•n=0.对于8一8极限类型，要求目标函数是同类型的两项，随自变量的某个无限变化过程而趋向无穷，从而分析两者之间的差距的稳定性.如：1)产品利润问题:若产量为X时的成本为C(x)=10+l+x2,售价5美元，则产量为x时，增加单位产量的利润增长额为I(x)=5+
7、l+x2T+(1+x)2,当产量无限增长时，利润增长额是否会达到一个稳定值，即分析极限limx—+8【(x)=limx—+8[5+1+x2T+(1+x)2]=4.三、慕指类型18,00,8°极限理论中，极限limn—8(1+ln)n=e称重要极限，该极限可视为关于n的慕指函数，其它属于18类型的极限,都可以通过变形成该重要极限来求解.学生在学习此类极限时，难于理解其未定性，受1的任何次矗仍为1的结论影响,并没意识到自变量在1附近的变化时，对极限值的影响是很大的.在幕指函数的极限实例模型中，18是最
8、为常见的，典型的有连续复利的计算，人口预测等.有如下模型：2)C02的吸收模型：空气通过盛有吸收剂C02的圆柱型器皿，已知吸收C02的量与C02的百分浓度及吸收层厚度成正比.通过极限的方式，该模型可以建立起空气中C02的浓度关于厚度的函数关系，设初始空气含C02浓度为a,先将空气层分成n层，于是通过第n层后的浓度为cn=a(1-kdn)n,k为比例系数，再将吸收层无限细等分，即n—8,则有C(d)=limn->oocn=limn->ooa(1-kdn)n=ae-kd.对于00,80
