中职数学中一元线性回归教学技巧探析

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1、中职数学中一元线性回归教学技巧探析　　摘要：回归分析在中职数学中属于难度较大的内容，理解回归分析的思想、回归方程与函数的联系与区别、回归与相关的联系与区别、回归方程的估计与解释等问题，是进一步学习统计学等相关课程的必备基础。本文对一元线性回归的教学内容、形式、技巧作探讨。使用案例教学、启发式教学、实践教学等教学方法，使得中职学生能够深入理解回归分析并学以致用。关键词：中职数学教学一元线性回归教学技巧6正如哲学所言，事物是变化的，于是有了变量。而一切自然现象和社会现象都不是孤立存在和变化的，事物与事物之

2、间，变量与变量之间，都存在着某种关系。这类关系大体可分为两类：一类是确定性的，可以用函数关系表述。另一类是非确定性的，可以用统计关系表述。而回归分析是度量统计关系的方法中很常见和重要的一种。回归分析在中职数学中属于难度较大的内容，理解回归分析的思想、回归方程与函数的联系与区别、回归与相关的联系与区别、回归方程的估计与解释等问题，是进一步学习统计学等相关课程的必备基础。本文对一元线性回归的教学内容、形式、技巧作探讨。在教学中使用案例教学、启发式教学、实践教学等教学方法与技巧，使得中职学生能够深入理解回归

3、分析并学以致用。一、回归方程与函数的联系与区别。学生会发现回归方程和函数公式法表达式非常像，比如一元线性回归方程的样本回归方程就是一条直线，也如函数表达式一样由y和x表达，也可以叫因变量和自变量，也能代入x解出y的点估计值，斜率系数也可以和微积分中一样解释为导数，截距系数的解释也一样表示x=0时y的取值。所以学生容易把两者混淆，认为既然两者那么类似，为什么要那么辛苦地学习回归分析呢？所以笔者认为讲解回归分析，首先要让学生理解回归分析与函数的联系与区别。一切自然现象和社会现象都不是孤立存在和变化的，事物

4、与事物之间，变量与变量之间，都存在着某种关系。这类关系大体可分为两类：一类是确定性的，可以用函数关系表述。另一类是非确定性的，可以用统计关系表述。而回归分析是度量统计关系的方法中很常见和重要的一种。可以举一些函数关系的例子：某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px（p为单价）；圆的面积S与半函数关系统计关系图1函数关系与统计关系图形表述的联系与区别6函数关系与统计关系的联系与区别可以借用哲学语言，函数关系只关注必然性，认为x与y的关系是必然的，没有偶然性的。而统计关系（包含回归分析）是兼

5、顾必然性与偶然性，试图在偶然性中找到必然性，这种必然性的表达就会类似于函数表达式，但是统计关系总是保留偶然性，不会忽视偶然性，正所谓偶然性与必然性的对立统一。二、先讲解相关分析再讲解回归分析。相关分析和回归分析具有非常密切的联系，首先，变量间有相关关系才可以做回归分析，学生发现只要把两个变量放在一起做回归就能够得到回归方程，就容易以为是数学游戏，不管变量间是否具有理论与常识中的关系，都使用回归分析，造成误用，得到的结果也无法解释或者缺乏现实意义，这就是伪相关和伪回归。可以举以下例子：G.乌迪内·尤乐在

6、1926年发现用英格兰和威尔士1866—1911年间人口死亡率的年数据与英格兰所有结婚中到教堂举行仪式所占比例的相关系数是+0.95，然而没有一个英国政客为了赐予选民长生不老而提议关闭英格兰的教堂。韩德瑞发现，在英国，通货膨胀率与年累计降雨量有很强的正向关系，那么，如果英国能够降低其通货膨胀率，作为奖励，就可以享受改善气候之无法估计的意外效果，那该多好啊。但是，这种绝妙的结合是不会发生的。6最简单的相关分析，就是做出皮尔逊简单相关系数r，但是r有很大的缺陷，比如图2中AB两条直线的相关系数r是一样的，

7、但是x与y的关系明显不同，斜率与截距都不同，那么怎么表达出来呢？回归分析可以区分两条直线，这就导入了回归分析。图2两组样本具有相同的相关系数不同的回归方程三、应用启发式教学方法从图形视角理解最小二乘法。6面对图2这样的样本点，怎样得到回归方程的估计呢？根据数形合一，即怎样在图形里面画直线最好，最能够提炼挖掘样本点的信息呢？这里我们使用启发式教学方法，或者类似于苏格拉底问答法。首先提问：面对这些样本点，怎样作一条最好的直线，最能代表样本点所蕴含的信息呢？有学生说：让直线穿过所有的点，我问：你能够找到这样

8、的直线吗？学生发现不能。又有人提出：两点决定一条直线，可以用两点。我反问：用哪两个点，为什么？丢弃信息的方法是最优的吗？如果可以这样，为什么说抽取样本越多越精确呢？学生发现无法回答，只得出不能只看两个点，应该考虑全部的样本，而且得出直线离这些样本点最近就可以了。怎么表示最近呢？点离直线的距离的度量有几种，比如欧式距离、水平距离、垂直距离，其中垂直距离容易处理，而且现实意义丰富，因为就是样本点真实值与样本回归直线估计值的差距，即为残差。有学生说：残差之和最