机械振动学习题解答(三).ppt

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1、《机械振动学》习题解答（三）2013-05-151力法牛顿第二定律/动量矩定理2视察法对链式系统，直接写出结果3刚度法/柔度法刚度法——要使第j个广义坐标发生单位位移而其余广义坐标的位移为0，需要在第i个广义坐标上施加的力，即为刚度矩阵[K]中的元素kij柔度法——在第j个广义坐标上施加单位力，使第i个广义坐标发生的位移，即为柔度矩阵[A]中的元素aij4Lagrange方程多自由度系统列微分方程惯性力保守力阻尼力动能势能Ok2xk1J0T2T1θT1mg解法一(力法)：设m相对平衡位置的位移为x，向下为正；J0相对平衡位置的转

2、角为θ，顺时针为正。对m：对J0：2－14如图所示，固定滑车力学模型中，起吊物品质量为m，滑轮绕中心O的转动惯量为J0，假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。整理可得微分方程：注：重力项和弹簧静伸长抵消，因为mg=kΔ。（参见习题2-5）由θ单独引起的弹簧弹力（弹簧被压短）由x单独引起的弹簧弹力（弹簧被拉长）解法二（Lagrange方程）：设m相对平衡位置的位移为x；J0相对平衡位置的转角为θ。系统动能：系统势能：Ok2x将以上各式代入Lagrange方程：即得微分方程。k1J0θ注：重力势能和弹簧静变形的弹性势能抵消。

3、m解法三（刚度法）：设m相对平衡位置的位移为x，向下为正；J0相对平衡位置的转角为θ，顺时针为正。先令x=1，θ=0，要使系统受力平衡，须在m上施加向下的力k1，在J0上施加逆时针力矩k1R，即再令x=0，θ=1，要使系统受力平衡，须在m上施加向上的力k1R，在J0上施加顺时针力矩即因此微分方程为Ok2xk1J0θm解法四（柔度法）：设m相对平衡位置的位移为x，向下为正；J0相对平衡位置的转角为θ，顺时针为正。假设m受到一个向下的单位力，则弹簧k1相对平衡位置伸长1/k1，弹簧k2相对平衡位置伸长1/k2，所以x=1/k1+1/

4、k2，θ=1/(k2R)，即假设J0受到一个顺时针方向的单位力矩，则弹簧k1相对平衡位置无变形，弹簧k2伸长1/k2R，所以x=1/k2R，θ=1/(k2R2)，即因此微分方程为Ok2xk1J0θm2－15用视察法建立图示链式系统的振动微分方程。解：微分方程为与m1相连的所有弹簧连接m1和m2之间的所有弹簧的负数对角阵对称阵(规则与刚度阵相同)对称阵与m2相连的所有弹簧m1k4k1k2k3c1m22－16绳索-质量系统的参数如图所示，设m1=2m2，各段绳索中的张力均为T。试用柔度法建立系统作微振动的微分方程。解法一：（柔度法）

5、把m1和m2竖直方向的位移作为广义坐标，向下为正。对m1施加一竖直向下的单位力，使m1和m2产生的位移即为柔度系数a11和a21。同理，对m2施加一竖直向下的单位力，得柔度系数a12和a22。于是微分方程：Tm1m2T1θ1θ2LLL解法二：（刚度法）把m1和m2竖直方向的位移作为广义坐标，向下为正。使m1产生竖直向下的单位位移，m2位置不变，需要对m1和m2施加的竖直向下的力，即为刚度系数k11和k21。同理，使m2产生竖直向下的单位位移，m1位置不变，得刚度系数k12和k22。于是微分方程：Tm1m2Tθ1LLLk11Tk2

6、1T2－17如图所示系统中，k1=k2=k3=k，m1=m2=m，r1=r2=r，J1=J2=J。求系统的振动微分方程。解：（力法）设J1和J2分别沿顺时针方向旋转了θ1和θ2。则弹簧内力分别为（均为拉伸）对J1和J2受力分析：k2于是微分方程：k1F1F2F2F3k3J1,r1J2,r2θ1θ2注：还可以用刚度法列方程。2－18行车载重小车运动的力学模型如图所示，小车质量为m1，受到两根刚度为k的弹簧的约束，悬挂物品质量为m2，悬挂长度为L，摆角θ很小，求系统的振动微分方程。解：（Lagrange方程）以m1水平方向的位移和m

7、2的摆角为广义坐标。由于m2相对m1的速度为，m1的速度（即牵连速度）为，故m2的绝对速度为系统的动能为势能为kkLm1θm2令L=T-U，列Lagrange方程：可得于是微分方程：略去高阶项，且，方程可化简为微分方程令，代入方程得线性方程组要使方程有非零解，须，从而得固有频率。将代回线性方程组，得对应的振型。于是振型矩阵振型具有正交性：正则振型多自由度系统自由振动将[M]换成[K]也成立微分方程令，方程可解耦令，方程可解耦1直接解令，得，解得2模态综合法先分析自由振动，得到振型和主坐标，使方程解耦，再解方程多自由度系统受迫振动

8、3－8求图示系统的固有频率和主振型（杆为刚性，不计质量）。解：(刚度法)以m和2m竖直方向的位移为广义坐标，向下为正。使m产生竖直向下的单位位移，2m位置不变，需要对m和2m施加的竖直向下的力，即为刚度系数k11和k21。k于是微分方程：kLm2mLL得同理可得