几何条件代数化与代数运算几何化.doc

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1、几何条件代数化与代数运算几何化——突破解析几何难点之两方法解析几何解题方向：找关系。（1）找关系，设直线方程；（2）找关系，找解题方向；（3）找所设两变量关系（如找与关系，找与关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运

2、算能力和消元意识”。其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。1、（第一次周考）21.设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o，.（1）求椭圆C的离心率；（2）如果

3、AB

4、=，求椭圆C的方程.分析：1、几何条件代数化：本质特征：且；代数关系：或.

5、AB

6、=代数关系：弦长公式。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。（21）解：设，由题意知＜0，＞0.（Ⅰ）直线l的方程为，其中.联立得解得因为，所以.即得离心率.……

7、6分（Ⅱ）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为.……12分2、（第二次周考）21.设是椭圆上的两点，已知向量，若且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点。（1）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值。（2）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。分析：1、几何条件代数化：平面向量条件本质特征：与垂直；代数关系：.的面积代数关系：弦长公式和点到直线的距离公式。2、一般问题特殊化直线AB分斜率存在与不存在讨论。3、代数运算几何化利用找关系，把二元转化为一元

8、。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。21.（1），解得a=2,所求椭圆的方程为知设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得消元，得则。由已知得（2）①当直线AB斜率不存在时，即则联立，得整理，得又点A在椭圆上，故，解得的面积②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b,联立，得整理，得，由得即，将代入整理，得的面积=三角形的面积为定值1。2、（第三次周考）20.已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.(1)证明：点在上；(2)设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上.分析：

9、1、几何条件代数化：本质特征：；代数关系：.、、、四点在同一圆上本质特征：找圆心，PQ与AB垂直平分线交于圆心，圆心到四点距离相等；代数关系：找斜率与直线上一点。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。20.(1),的方程为,代入并化简得.设,则由题意得所以点的坐标为.经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上(2)由和题设知，，的垂直平分线的方程为.①设的中点为,则,的垂直平分线的方程为.②由①、②得、的交点为.,,,,,故,又,,所以,由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上。4、（第四次周考）20.设椭圆过M（2，），N（，1）两

10、点，O为坐标原点.（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求

11、AB

12、的取值范围；若不存在，说明理由.分析：1、几何条件代数化：平面向量条件本质特征：与垂直；代数关系：.2、圆的切线圆心到切线的距离等于半径，找关系。

13、AB

14、的取值范围代数关系：弦长公式和范围问题多样化。3、一般问题特殊化分斜率存在与不存在讨论。无斜率任何条件时，直线设成.4、代数运算几何化利用找关系，把二元转化为一元。解题方向：联立直线和椭圆方程解题。20.解：（1）将

15、的坐标代入椭圆E的方程得解得所以椭圆E的方程为（2）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为，其中设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为，①将其代入椭圆E的方程并整理得由韦达定理得②因为，所以③将①代入③并整理得联立②得④因为直线AB和圆相切，因此,由④得所以存在圆满足题意.当切线AB的斜率不存在时，易得由椭圆方程得显然，综上所述，存在圆满足题意.解法一：当切线AB的斜率存在时，由①②④得令，则，因此所以即.当切线AB的斜率不存在时，易得，所以综上所

16、述，存在圆心在原点的圆满足题意，且.5、（第五次周考）20.已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点是线段上异于的一个定点（为坐标原点），是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两点，使得，请说明理由。分析：1、几何条件代数化：本质特