离散型随机变量的数学期望定义.ppt

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1、第15章随机变量的数字特征15.1随机变量的数学期望15.2随机变量的方差15.3常用分布的数学期望和方差15.1数学期望及其运算法则数学期望的定义例设某班概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数5060708090100人数1691572则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即数学期望——描述随机变量取值的平均特征例15.1为评价甲的射击技术，随机观察甲的10次射击，统计各次击中环数和频数如下表，求他每次射击击中的平均环数.击中环数8910频数253频率0.20.50.3解这是一般求平均数问题写成一般形式就是由

2、此我们得到离散型随机变量数学期望的定义:*绝对收敛为r.v.的数学期望，简称期望或均值。离散型随机变量的数学期望定义.若~P{=xi}=pi,i=1,2,…n,则称例掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。则称15.1.2连续型随机变量的数学期望定义15.2若~f(x),-

3、,则的期望解法1:解法2:本题也可以先求出的分布列例长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则=10分25秒15.1.4.数学期望的运算法则1.E(c)=c,c为常数;E(k)=kE(),k为常数;2.和的法则;和的法则可以推广到n个变量的情况:3积的法则:若与独立，EX1设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3

4、Y)(15Z-1)的数学期望EX2设随机变量相互独立，且均服从分布，求随机变量的数学期望答:答:例15.9据统计,一位40岁的健康者,在5年内活着或者自杀死亡的概率为p,保险公司开办5年人寿保险,参保者需交保费a元,若5年内非自杀死亡,公司赔偿b元.(b>a).问(1)b如何确定才能公司期望利润大于0;(2)若有m人参保,公司可获得的总期望利润是多少?解:设表示公司从第i个参保者身所得的收益,由题意可知它的分布为解得(2)若m人参保,设公司总收益为15.2随机变量的方差方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特

5、征。如何定义？引例15.11已知射手甲命中环数X的分布列为射手乙命中环数Y的分布列为试对甲乙的射击水平作出评判.根据定义分别有称为r.v.的标准差方差的定义对于随机变量，如果存在,则称为r.v.的方差，记为,或Var(X).推论证明:求方差例已知~例设服从以参数的指数分布,求例15.12计算15.11中的方差同理:说明乙的射击水平比较稳定解:15.2.2方差的运算法则若c,k为常数,为随机变量则D(c)=02和的法则:若与独立,且它们的方差都存在，该法则的一般情况:解:由例15.13知根据方差运算法则例已知X~

6、求Y=5-2X的方差DY例已知15.3常用随机变量的数字特征1.两点分布由期望和方差的公式容易得到2.二项分布由例15.15知二项分布的期望和方差:3.泊松分布p()4.均匀分布5.指数分布6.正态分布N(,2)例1某次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择答案正确得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的数学期望。解设

7、学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别为ξ和η，则ξ～B（20，0.9），η～B（20，0.25）E（ξ）=20×0.9=18，E（η）=20×0.25=5由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，它们在测验中的成绩的数学期望分别是E（5ξ）=5E（ξ）=5×18=90，E（5η）=5E（η）=5×5=25思考：1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi

8、的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn，求E（Y2）