研究生数值分析(2).ppt

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1、为了学习线性方程组的迭代解法并研究其收敛性，对方程组的近似解作出误差分析，下面简要介绍向量范数与矩阵范数（模）。向量范数和矩阵范数是用于描述向量和矩阵大小的量。(1)向量的范数其长度为我们用其度量向量的“大小”。§3向量范数与矩阵范数对于空间直角坐标系中的任意向量实质上向量范数是一个实值函数，(1非负性).对任意，都有(2齐次性).对任意和向量,(3三角不等式).对任意,都有将向量的长度概念加以推广，便得到向量范数概念。它满足如下3个条件：当且仅当定义1设是定义在上的实值函数，非负性，即当且仅当②齐次性，即③三角不等式，即对,总有则称为上向量的范数

2、（或模）。向量的1—范数：向量的2—范数：向量的范数：如果它满足三个条件：最常用的有如下3种向量范数：下面只证是向量范数：证明：（1）由向量的2—范数有满足定义中条件①（2）对任一有满足定义中条件②由的含义，可用内积表示，即（3）任取向量，则有（3）任取向量，则有根据Cauchy-Schwarz（柯西-施瓦兹）不等式有满足定义中条件③。证毕向量的2—范数也称为Euclid范数。其实，向量的1—范数，2—范数，范数，它们都是p—范数的特例其中，正整数，并且有容易验证的3种范数之间有如下关系：下面验证第2式设，则例5设，求解：由向量的1，2，范数定义于

3、是有，又即有，故有定义2设是定义在上的实值函数，1.非负性，即当且仅当2.齐次性，即3.三角不等式，即对,总有4.矩阵乘法不等式，即对,总有则称为上矩阵的范数（或模）。(2)矩阵的范数如果它满足4个条件：定理设向量,矩阵，给定一种向量，若则称为矩阵的范数，称为算子范数，并且它与所在实际应用问题中，矩阵和向量常常具有一定关系，即满足矩阵、向量乘法的相容性，且有结论范数给定的向量范数相容。证首先证明相容性。所以有此结果显然也适用于Y=0的情形。对任意矩阵和任意的非零向量由于再证明满足矩阵范数的四个条件。（1）当A=0时，；当A≠0时，必有（3）对任意的

4、矩阵有（2）对任一数，式成立。（4）证毕。1―范数（列模）2―范数（谱模）∞―范数（行模）其中为的特征值。常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11例6设，求及。解：又的特征方程为它的根为因而练习:已知矩阵A和向量X，求，及。其中