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1、期末考试试卷（A卷）学年第二学期考试科目：近世代数考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号___________________姓名_________________年级专业____________________题号-一一-二二-三四五六七总分得分评阅人一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“V”，错的打“X”；每小题3分，共15分）1、如果环R的阶2，那么R的单位元10.（V）2、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群.（X）3、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构.（V）4、群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;g123HgH.（
2、V）5、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算.（X）1设AA,,An和D都是非空集合，而f是AA2An到D的一个映射，那么（②）①集合A,,A2,,An,D中两两都不相同；②A,A2,,An的次序不能调换；3AA2An中不同的元对应的象必不相同；4一个元a1,a2,,an的象可以不唯一。2设是整数集Z上的二元运算，其中abmaxa,b（即取a与b中的最大者），那么在Z中（③）①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。3设G,为群，其中G是实数集，而乘法：ababk，这里k为G中固定的常数。那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是（④
3、）二、单项选择题（共35=15分）②1和0;③k和x2k；④k和（x2k）。4、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果
4、H=6,那么G的阶G（②）①6；②24；③10；④12。5、设f：GG2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（④）①f的同态核是Gi的不变子群；②G2的不变子群的逆象是Gi的不变子群；③Gi的子群的象是G2的子群；④Gi的不变子群的象是G2的不变子群。三、填空题（共35=15分）1、_____________________________________________________________________设集合A1,0,1
5、；B1,2，则有BA_____________________________________________，2、---------------------------------如果f是A与A间的_____________________________映射，a是A的一个元，则f1fa________________________________________________，3、设集合A有一个分类，其中A与Aj是A的两个类，如果AAj，那么4、设群G中元素a的阶为m，如果e，那么m与n存在整除关系为________an__________同构。5、凯莱定理说：任一个子
6、群都同一个四、计算题（15+10分=25分）1、给出下列四个四元置换123412341234123414213421431]212341243并且求出G的单位元及11113,4和G的AAj所有子群。2、设Z60,1,2,3,4,5是模6的剩余类环，且f(x),g(x)x。如果32f(x)3x5x2、g(x)4x5x3,计算f(x)g(x)、f(x)g(x)以及f(x)g(x)。五、证明题（215分=30分）1、设R为实数集，a,bR,a0,令f（a,b）:RR,xaxb,xR，将R的所有这样的变换构成一个集合Gf（a,b）
7、a,bR,a0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个
8、群。2、若R中每个元a都有a2a（称a为幂等元）且R0..那么R必为特征是2的交换环.
