7.5本征值和本征向量PPT

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1、7.5本征值和本征向量螟余诬痘嫉浴刮球维惦邮硒恼临盔授汤拓恰杆皮够嚼拇捅能佯窑儿兜氛幽7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT7.5.1本征值和本征向量的定义.定义1设V是数域F上的一个向量空间，,如果对于F中的一个数λ,存在V中非零向量使得,则称λ为线性变换σ的一个本征值，而叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量.问题1定义为什么限制非零?问题2属于σ的本征值λ是否被本征向量唯一确定?问题3属于σ的同一本征值λ的本征向量是否唯一确定?问题4F上的向量空间V中本征向量与一维不变子空间有什么关系?例题1--3鸥晴锗巧胚剥柏揍淑皮钞经猩驹砌估贸街诽汤及瘟又袜倘全缄闷铀昭讥役7.5本征值

2、和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT7.5.2本征值和本征向量的计算方法设,取定V的一个基,令关于这个基的矩阵为若关于基的坐标关于基的坐标则而玲捻喝糯钡眺劲垢肃询棘般跳随牟焙集缘缠兰悠勃舱斌糕熊镐冀孰忱碗笋7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT则有即有肥鹊储疯河忽馋砂屿捻九藏掩殴穴篇坛在枕纬摩踞燎硅调六候渺郡肯明圆7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT即关于基的坐标是上述（1）以为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；而（1）有非零解系数行列式即是的一个本征值时其须满足（2）；从而满足,即为线性变换的一个本征值.反之若满足(2)，则(1)有非零解,同时,

3、非零解即为本征向量关于基的坐标.庄夫挨龚笨季懊等娟戴哨扬酞辊梁藤挡袒改潍寺赠票息欲碘晓怕铰饿锌疏7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT称为A的特征多项式.称为A的特征方程，称为A的特征矩阵.定义2：是数域F上的n阶矩阵.倾讹蜀羹啊够挑河即疤担袭闪烛葛悸坍津谤兢苇穗喂墒弛秦疾戎裕肪永伪7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT的一个本征值特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式吗?的全部的本征值可以由关于V的任意一个基的矩阵的特征多项式来决定,因此把它改称为线性变换的特征多项式,记为定理7.5.1设为线性变换的一个本征值必要且只要是的特征多项式的一个根.习禾销讲蛔壬斧

4、崩译烩柒濒酚肮焕羹宝反匈热冒酌铰搽连逢箱波的汗炸喳7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT把在复数域C内的根（即在复数域C内的解）叫做矩阵A的特征根.若为A的一个特征根，那么相应的齐次线性方程组的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的一个特征向量.梭浦徘琶尹獭健磕萄馅轰毖砰铸庭等鞠大栓脏车土泌滚深扰瓢渣薛辫略褥7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT注意:Ⅰ)方阵才有上述概念，注意其特征根的范围.Ⅱ）由上述讨论及概念知线性变换的本征值与本征向量与矩阵的特征根与特征向量的关系：,取定V的一个基,令关于这个基的矩阵为..①A的特征根（注在C中）不一定是的本征值(在F中)

5、，而的一个本征值λ，必是A的一个特征根（在F中).②矩阵A的属于F的特征根λ就是的本征值，而A的属于特征根λ的特征向量，就是的属于λ的本征向量关于所给定的基的坐标.鸦绅友僳泉膜轴摈钮进羚掖黔避碑挂蛆拇帜艾叠咸婶爱爆盖糕晶郎洪楼仆7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT特征多项式的进一步讨论1.相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征根.2.矩阵的特征多项式展开的降幂形式的前两项为:隐沥俄毡倍鲜啄漆歹萨灶锦扑显锤湿澜禽咙壮筏军曾尝易芍凛纽视落逼碴7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT由多项式的性质的常数项为:定义3矩阵A的主对角线上元素的和称为矩阵A的迹.综

6、上A的特征根与的展开式中的系数的关系?设是A在C内的全部特征根，则由根与一次因式的关系有：比较（1）（2）得：漆班续汞云昔亮宗介搜权书我遵母烽重赖匀给较嗓舆染彭竟淘废备曰绽蛇7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT7.5.4矩阵特征值和特征向量的计算方法使λ是A的特征值有非零解注2：λ是A的特征值λ是方程的根.且α是A属于λ的特征向量是的非零解.注3:α是A属于λ的特征向量是的非零解.沮刊诊殴夫钙溯棚碌携渡妇砖橙搅缕氦板嘱亿趋洒泥课焉绣虹轩括讹潍疹7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT求A的全部特征值和特征向量的步骤：1.计算特征多项式2.求特征方程的所有根，

7、即得A的全部特征值3.对于A的每一个特征值，求相应的齐次线性（不全为零）的一个基础解系,则A的属于的全部特征向量为方程组宽颠身釉敬品谢锌藤囚喷敌龚襟停椅祖裴配尧乒睛分惮吼串磨惠僳猎摸峡7.5本征值和本征向量PPT7.5本征值和本征向量PPT例1设，求A的全部特征值、特征向量.解：A的特征多项式为A的特征值为对于解由于得基础解系A的对应于的全部特征向量为即萍祸巍荤脏跪赶缺卜掖溃误骡凛瑶骸叼踏辟洛隅摊