泛函分析课件

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1、泛函分析基础信息与电气工程学院邹海林2014.2泛函分析基础1、什么是泛函分析？20世纪20年代形成的数学分支，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的算子和极限理论。现代泛函分析的奠基人波兰数学家巴拿赫波兰数学家在泛函分析和拓扑学等方面取得了重要成就。其中的领军人物是巴拿赫(StefanBanach1932年巴拿赫出版了《线性算子论》一书，建立了巴拿赫空间上线性算子理论，证明了一批后来成为泛函分析基础的重要定理，成为泛函分析理论成熟的标志。泛函分析的观点和研究手段推动着其他一些数学分析学科的发展，

2、如在微分方程、概率论、函数论、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的运用。2、为什么给研究生开设泛函分析计算机应用技术解决什么？遇到的问题越来越复杂涉及的知识门类多现代数学的作用越来越突出例1：网络技术通信技术计算机技术信号处理技术数学例2：信息安全抽象代数密码学理论数理逻辑例3：例4：信号的稀疏表示理论：视觉皮层对图像的编码模式傅里叶级数小波变换神经生理学的研究例4：信号的稀疏表示理论：X=Dα例4：3、泛函分析基础的基本内容（1）距离空间（2）赋范线性空间（3）内积空间（4）线性算子与线性泛函（5）投影与逼近第一章距离空间距离的概念是现实物理世界中物体之间距离关

3、系的本质特征的数学抽象。直线上两点之间的距离三维空间中两个向量之间的距离曲面上两点之间的距离……第一章距离空间1.1距离定义设R表示一个非空集合，若其中任意两元素x,y都按一定的规则与一个实数相对应，且满足以下三公理（称为距离公理）：（1）（2）（3）对R中任意3元素x,y,z,有则称为x,y间的距离，称R为距离空间，其中的元素也称为点。例1：设为非空实数集，对其中任意两个实数x,y定义距离：即为通常意义下的距离，称欧氏距离。另外，还可以用另一种方式来定义距离：第一章距离空间例2：设为n维实向量全体所构成的空间，在其中可定义距离如下：设为中任意两元素，则即为平面上两点间的通

4、常距离。在中也可以定义另一种距离：第一章距离空间例3：用表示定义在[a,b]上所有连续函数的全体，对于任意,可定义距离：第一章距离空间例4：用表示[a,b]上所有平方可积函数的全体，即对任意,都有则可在中定义距离，对于任意,可定义距离：第一章距离空间例5：表示满足的实数列的全体，则其中任意两点间的距离可定义如下：第一章距离空间1.2收敛概念设R为距离空间，为R中点列，如果当时，数列则称点列按距离收敛于x,记为或此时，称为收敛点列，x为的极限。1.2.1收敛点列第一章距离空间性质：定理1.1在距离空间中，收敛点列的极限是惟一的。定理1.2在距离空间中，距离是两个变元x,y的连

5、续函数。定理1.3设为距离空间R中的收敛点列，则必有界。即存在有限数使所有都有第一章距离空间1.2.2Cauchy列设为距离空间R中的收敛点列，则存，使因为所以，当时，有使上式()成立的点列称为Cauchy列，或基本列。（）第一章距离空间1.3距离空间的完备性定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R中有极限，则称距离空间是完备的。定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由R到R1的映射T，使一切有其中分别为R，R1上的距离，则称T为R到R1的等距映射，这时，称R与R1为等距。第一章距离空间距离空间的完备化定理：对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空间R0，使

6、得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是惟一的。第一章距离空间1.4距离空间的稠密性与可分性定义：设A，B为距离空间R中的子集。若对任意的总存在B中的点列收敛于x，则称B在A中稠密，简称B在A中稠。稠密性：第一章距离空间关于稠密性的两种等价的说法：（1）若B在A中稠，则对任意的及任意的总存在B中的点y，使得反之亦然（2）若B在A中稠，则对任意的，必有反之亦然表示以x为中心，以为半径的小球。第一章距离空间可分性：定义：距离空间R称为可分的，是指在E中存在一个稠密的可列子集。第一章距离空间问题：1、写出三维空间的几种距离2、距离空

7、间中的开集、闭集？第一章距离空间1.5距离空间的列紧性（略）第一章距离空间第二章赋范线性空间2.1定义和例1、线性空间的定义：集合E称为实（或复）线性空间，如果：（1）在E内定义了“+”法运算，使对任意的都有且仍E中（交换律）(a)（结合律）(b)存在“零元素”，有(c)存在“逆元素”，有(d)（2）定义了E中元素与实（复）数域K中的数之间的“数乘”运算，使对任意的都有且仍E中(a)(b)(c)(d)第二章赋范线性空间2、赋范线性空间的定义：设E为实（复）线性空间，若对任意的都有一个非负的实数与之对应，且满足则称为