高数极限习题

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1、limhfa+/?->+0C1,-/⑷=黜Ar存在，这只表明/W在x=。处第二章导数与微分典型例题分析客观题例1设/)在点,%可导为常数，则lim：/工+小)Av-H)AvA〃矿(.%)B(a+b)fx0)C(a-b)fxQ)D：/'(&)b答案C解]./(,”+心)一f(xo+心)lun=axtoAx[.[/(x0+«Av)-/(x0)]-[/(x0+Z?Ar)-/(x0)]=lun=0ToAr=a®/(A0+nM)-/(x0)b/(%+皿)-/(%)aAx2tobx=(a-b)fx

2、0)例2(89303)设/(X)在X=。的某个邻域内有定义，则/(X)在工=。处可导的一个充分条件是()(A)lim+一/(〃)]存在(B)lirn/m+2/7)j/m+a)存在hf[vh)J-0h(C)lim/")-/(”〃)存在(D)limfa存在力T)2h力T)h答案D解题思路对于答案⑷，不妨设尹以,当—时，)-。+,则有右导数存在，它并不是可导的充分条件，故(A)不对.⑵对于答案(8)与(C),因所给极限式于中不含点。处的函数值/(。)，因此与导数概念不相符和.例如，若取/«=1,x=a

3、0,x^a则(5)与(C)两个极限均存在，其值为零，但lim/(x)=0w/(〃)=l,从而/(幻在处不连续，因而不可导，这就说明(5)与(C)成立并不能保证/'(。)存在，从而(5)与(C)也不对.⑶记—二一〃,则——0与0-0是等价的，于是rf(a)-f("h)f(a-h)-f(a)f(a-h)-f(a)lim=-lim=Inn力T)hft-x)hft->o—h=11m/(心)-)⑷力，⑷Av-x)Ar所以条件D是f'(a)存在的一个充分必要条件.例3(00103)设/(0)=0,则/(x)

4、在点x=0可导的充要条件为()(A)lim-cosh)存在/TO/广⑹慝"。”)存在(C)liin}/(/?-sinh)存在答案B解题思路⑷端9一间存在(1)当〃fo时，匕m1•一；.所以如果/'(0)存在，则必有lim'(josh)=11m/(I-cosh)-/(0)=11m./1(l-cosh)-.Z(O)「cosh力T)h2力h2〃-01-cosh20h2若记〃=1-cosh,当/?—>0时,"f0「,所以/(l-cosh)-/(0)/G0-/(0).7_.lun=lun=f(0)力-o1

5、-cosh〃一>。u于是//(josh)」D/产2这就是说由/'(0)存在能推出lim(l-cosh)存在.但是由于当/?->0时，恒有〃=l-coshf0+，而不是"一>0,因此㈣47(1-cosh)存在只能推出月(0)=liin'")二’存在，而不能推出/'(0)D/广10X存在.(2)当〃―0时，l—e"=—〃+。(力)，于是vfa-eh)f(-h+o(h))-f(0)_+—1UY1-UIll；——11IY1/T)h力T°h力T)-/?+

6、，又能取负值，所以极限1HB八…⑷一.⑼存在与1UB吗少=八。)存在是互相等价的.因而力T)一力+。(力)20/1极限lim—存在与/'(0)存在互相等价./TOhhsinh।(3)当〃一»0时，用洛比塔法则可以证明lim所以1°h611m./（A-smh）=11m/STinh）—/（O）11m/-sinh力力-＞。卜—0力一sinh修。/r由于…O、于是由极限i皿八一七/（0）11m中八存在未必推出u/?-sinh力—lvlim蛆）二〃。）也存在，因而广（0）未必存在.力-＞（）/z-smh（

7、4）/（X）在点x=0可导一定有（。）存在，但（。）存在不一定f（x）在点X=0可导.例4（98203）函数/（幻=（/一工-2）1丁_1有（）个不可导点（A）0（8）1（C）2（0）3答案C解题思路当函数中出现绝对值号时，不可导的点就有可能出现在函数的零点，因为函数零点是分段函数的分界点.因此需要分别考察函数在点/=0，玉=1，々=T考察导数的存在性.(x2-x-2)x(1-x2),X<—1,0

8、x(x2-1),(x2-X-2)x(1-x2),（1）在/=。附近,/）写成分段函数:,R[x(x2-X-2)2-1),x<0/(x)=(x2-x-2)lx3-xl=八'-x—2)(1—xJ),x20容易得到/二(0)=lim/(•",八。)=11m(12_A-_2)(x2-1)=2x>0X.v->0/；(0)=lim/(A)"/(())=lim(x2-X-2)(l-x2)=-2A-->0+X10-由于£(0)f；(0)，所以尸(0)不存在.(2)在再=1附近,/(幻写成分段函数:f(x)=(