2010年北京西城区高考一模试题解析数学理科(人教b版)

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1、北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科）本试卷分第I卷和第II卷两部分，第I卷1至2页，第II卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第I卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（西城·理·题1）1．设集合，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【解析】C；，．（西城·理·题2）2．函数的最小值和最小正周期分别是（）A．B．C．D．【解析】A；．（西城·理·题3）3．设等差数列的前项和为，，则等于（）A．10B

2、．12C．15D．30【解析】C；，于是，．（西城·理·题4）4．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A．B．C．D．【解析】B；，．（西城·理·题5）5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【解析】D；；；，，故输出．（西城·理·题6）6．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A．B．16C．24D．32【解析】C；将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法．（西城·理·题7）7．已知平

3、面区域，向区域内随机投一点，点落在区域内的概率为（）A．B．C．D．【解析】C；如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为，小的等腰直角三角形区域为，由面积比知．（西城·理·题8）8．如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是（）A．当时，两点不可能重合B．两点可能重合，但此时直线与不可能相交C．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交D．当是异面直线时，直线可能与平行【解析】B；若两点重合，由知，从而平面，故有，故B正确．第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（西城·理·题9）9．若，其中，为虚

4、数单位，则．【解析】3；．（西城·理·题10）10．已知，，的夹角为60°，则．【解析】；．（西城·理·题11）11．将极坐标方程化成直角坐标方程为．【解析】；．（西城·理·题12）12．如图，切于点，割线经过圆心，弦于点．已知的半径为3，，则．．【解析】；；连结，知，于是，．（西城·理·题13）13．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为．【解析】；，设，，又，故，于是，当时，取到最小值．（西城·理·题14）14．设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．如果定义域为的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是．如果定义域为的函数是

5、奇函数，当时，，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是．【解析】；；的图象如下图左所示，要使得，有；时，恒有，故即可；由为奇函数及时的解析式知的图象如下图右所示，∵，由，故，从而，又时，恒有，故即可．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（西城·理·题15）15．（本小题满分12分）已知为锐角，且．⑴求的值；⑵求的值．【解析】⑴，所以，所以．⑵．因为，所以，又，所以，又为锐角，所以，所以．（西城·理·题16）16．（本小题满分13）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某

6、选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率；⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列和期望．【解析】设事件表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知，⑴设事件表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则．⑵设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，则；⑶的可能取值为1，2，3，4，，，，，所以，的分布列为1234．（西城·理·题17）17．（本小题满分14分）在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，=90°，，．⑴求证：平面；⑵求证：平面；⑶设为侧棱上一点

7、，，试确定的值，使得二面角为45°．【解析】⑴取的中点，连结，因为为中点，所以，且在梯形中，，，所以，，四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面．⑵平面底面，，所以平面，所以．如图，以为原点建立空间直角坐标系．则，，，．．所以．又由平面，可得，所以平面．⑶平面的法向量为，，所以，设平面的法向量为，由，，得，所以，所以，注意到，得．（西城·理·题18）18．（本小题满分14分）椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．⑴求