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时间:2018-09-14
《高中数学(北师大版)选修1-1教案:第3章 拓展资料:导数在证明恒等式中的应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、拓展资料:导数在证明恒等式中的应用 一、预备知识 定理1若函数f(x)在区间I上可导,且x∈I,有f′(x)=0,则x∈I,有f(x)=c(常数). 证明在区间I上取定一点x0及x∈I.显然,函数f(x)在[x0,x]或[x,x0]上满足拉格朗日定理,有f(x)-f(x0)=f′(ξ)(x-x0),ξ在x与x0之间. 已知f′(ξ)=0,从f(x)-f(x0)=0或f(x)=f(x0) 设f(x0)=c,即x∈I,有f(x)=c. 定理2若x∈I(区间),有f′(x)=g′(x),则x∈I,有f(x)=g(x)+c,其中c是常数. 二、应用例题 证法f(x)
2、=arcsinx+arccosx,在(-1,1)上是常值函数. 证明设f(x)=arcsinx+arccosx,x∈(-1,1),有f′(x)=(arcsinx+arccosx)′ 由定理1知,f(x)=c,即arcsinx+arccosx=c其中c是常数. 证明设f(x)=arctanx+arccotx,c∈R,有 由定理1知,arctanx+arccotx=c,其中c是常数. 例3证明:arccos(-x)+arccosx=π,x∈[-1,1]. 证明设f(x)=arccos(-x)+arccosx,x∈[-1,1], 于是f′(x)=(arcco
3、s(-x)+arccosx)′ 由定理1知,arccos(-x)+arccosx=c,其中c是常数. 令x=1,则c=arccos(-1)+arccos1=π, 于是arccos(-x)+arccosx=π. x∈(1,+∞)有 例5证明:sin(3arcsinx)+cos(3arccosx)=0,x∈[-1,1] 证明设f(x)=sin(3arcsinx)+cos(3arccosx),则x∈[-1,1],有f′(x)=(sin(3arcsinx)+cos(3arccosx))′ 由定理1知,sin(3arcsinx)+cos(3arcco
4、sx)=c,其中c是常数. 令x=-1,则c=sin(3arcsin(-1)+cos(3arccos(-1))=0 于是,x∈[-1,1],有sin(3arcsinx)+cos(3arccosx)=0. 于是,x∈[0,1],有 证明x∈R,有 即x∈R,有 与g′(x)=0. 从而f′(x)=g′(x),由定理1知,f(x)=g(x)+c 与g′(x)=-1. 从而,f′(x)=g′(x),由定理1知,f(x)=g(x)+c. 从而,c=0.于是, 解设F(x
5、)=f1(x)-f2(x) 由定理1知,x∈R(x≠±1),有 (2)x∈(-1,1),令x=0,则 于是, 例11求证:logaxy=logax+logay,其中x>0,y>0. 证明将a,y看作固定常数,x看作变量,设 f(x)=logaxy-logax-logay,x∈(0,+∞). 则x∈(0,+∞),有 由定理1知,(x)=c或logaxy-logax-logay=c.令x=1,则c=logay-logay=0,从而logaxy-logax-logay=0, 即logaxy=logax+logay. 例12求x∈R,满足等式ac
6、osx-cos(ax+b2)=a-1-b2的所有实数对(a,b)全体, 解设f(x)=acosx-cos(ax+b2),x∈R,要使x∈R,有f(x)=a-1-b2(常数),则根据定理1,x∈R,应有f′(x)=0,即f′(x)=-asinx+asin(ax+b2) (1)a=0,由题设等式知,-cosb2=-1-b2或cosb2=1+b2. 解得b=0,所以求得符合要求的一个实数对为(0,0). (a-1)x+b2=2kπ或(a-1)x=2kπ-b2,k∈Z 解得a=1,b2=2kπ,并代入题设等式,有cosx-cos(x+2kπ)=-2kπ, 并且仅当k=0,上
7、式才成立,从而b=0,所以求得符合要求的实数对为(1,0), (a+1)x+b2=(2k+1)π,k∈Z 解得a=-1,b2=(2k+1)π,并代入题设等式,有cosx+cos[(2k+1)π-x]=2+b2,即2+b2=0, 显然,这样的b不存在. 综上所述,所求实数对的集合为{(0,0),(1,0)}. 例14证明:x,y∈Rsin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny 证明设f(x,y)=si
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