5、(1)知f(x)在[e,e2]上单调递增,f(x)min=f(e)=e-(a+1)-ae.g'(x)=(1-ex)x.当x∈[-2,0]时g'(x)≤0,g(x)为减函数,g(x)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-ae<1,即a>e2-2ee+1,所以a的取值范围为e2-2ee+1,1.〚导学号92950923〛3.(2015河北唐山二模)已知f(x)=x+1x+alnx,其中a∈R.(1)设f(x)的极小值点为x=t,请将a用t表示;(2)记f(x)的极小值为g(t),证明:①g(t)=g1t;4②
6、函数y=g(t)恰有两个零点,且互为倒数.解:(1)f'(x)=1-1x2+ax=x2+ax-1x2,t=-a+a2+42>0,当x∈(0,t)时,f¢(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(t,+∞)时,f¢(x)>0,f(x)单调递增.由f¢(t)=0得a=1t-t.(2)①由(1)知f(x)的极小值为g(t)=t+1t+1t-tlnt,则g1t=1t+t+t-1tln1t=t+1t+1t-tlnt=g(t).②g¢(t)=-1+1t2lnt,当t∈(0,1)时,g¢(t)>0,g(t)单调递增;当t∈(1
7、,+∞)时,g¢(t)<0,g(t)单调递减.又g1e2=g(e2)=3e2-e2<0,g(1)=2>0,分别存在唯一的c∈1e2,1和d∈(1,e2),使得g(c)=g(d)=0,且cd=1,所以y=g(t)有两个零点且互为倒数.〚导学号92950924〛4.(2015河北保定高三调研)已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a≥0).(1)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求a的值;(2)若f(x)<0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2a2x2
8、+ax+1x.因为x=1是函数y=f(x)的极值点,所以f'(1)=1+a-2a2=0,解得a=-12或a=1.又a≥0,所以a=-12(舍去).经检验当a=1时,x=1是函数y=f(x)的极值点,所以a=1.(2)当a=0时,f(x)=lnx,显然在定义域内不满足f(x)<0恒成立;当a>0时,令f'(x)=(2ax+1)(-ax+1)x=0,得x1=-12a(舍去),x2=1a,所以f'(x),