同济高等数学第一章第一节课件.ppt

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1、一、集合二、映射三、函数§1.1映射与函数上页下页铃结束返回首页1.集合集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.元素组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.一、集合下页集合的表示列举法把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为M{x

2、x具有性质P}.例如M{(x,y)

3、x,y为实数

4、,x2y21}.下页几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.下页2.集合的运算设A、B是两个集合,则AB{x

5、xA或xB}称为A与B的并集(简称并).AB{x

6、xA且xB}称为A与B的交集(简称交).AB{x

7、xA且xB}称为A与B的差集(简称差).A

8、CIA{x

9、xA}为称A的余集或补集,其中I为全集.提示:如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.下页集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合,则有(1)交换律ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的证明下页所以(AB)CAC

10、BC.xACBC,xAC且xBCxABxA且xBx(AB)C直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合AB{(x,y)

11、xA且yB}称为集合A与集合B的直积.例如,RR{(x,y)

12、xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.下页数集{x

13、a

14、a

15、axb}——闭区间.[a,b)={x

16、ax

17、a

18、a和b称为区间的端点,b-a称为区间的长度.下页3.区间和邻域(-,b]={x

19、xb},(-,+)={x

20、

21、x

22、<+}.[a,+)={x

23、ax},无限区间(-,b)={x

24、x

25、a0,则称U(a,)=(a-,a+)={x

26、

27、x-a

28、<}为点a的邻域,其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.去心邻域U(a,)={x

29、0<

30、x-a

31、<}.。首页二、映射1.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则

32、f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY.定义y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即yf(x),X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即Rff(X){f(x)

33、xX}.元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即DfX.下页二、映射1.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY

34、.定义(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域DfX;集合Y,即值域的范围:RfY;对应法则f,使对每个xX,有唯一确定的yf(x)与之对应.需要注意的问题下页二、映射1.映射的概念设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY.定义需要注意的问题(2)对每个xX,元素x的像y是唯一的;而对每个yRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即RfY,不一定RfY.下页说明:Rf是R的一个真子

35、集.对于Rf中的元素y,除y0外,它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2两个.例1设f:RR,对每个xR,f(x)x2.f是一