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时间:2020-03-30
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1、2011年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范说明:评阅试卷时,请依据本评分规范.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分规范规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分规范划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.已知,,则的值为()A.1.B..C..D..【答】B.由可得,即,即,即,所以.2.已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为()A.5.B.6.C.7.D.8.【答】B.设△的面积为S,所求的
2、第三条高线的长为h,则三边长分别为.显然,于是由三边关系,得解得.所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3.方程的解的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答】C.当时,方程为,即,解得,,均满足.11/11当时,方程为,即,解得,满足.2011年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范第1页(共8页)综上,原方程有3个解..4.今有长度分别为1,2,…,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成“线段组”,由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的“线段组”的组数有()A.5组.B.7组.C.9组.D.11组.【答】C.显然用这些线段去拼接成正方
3、形,至少要7条.当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相等.又因为,所以正方形的边长不大于.由于;;;;.所以,组成边长为7、8、10、11的正方形,各有一种方法;组成边长为9的正方形,有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为1×4+5=9.5.如图,菱形ABCD中,,,,,,则()A..B..C..D..【答】D.过F作AB的垂线,垂足为H.∵,,∴,,,又∵,∴,从而△FHE是等腰直角三角形,所以HE=FH=,∴.
4、6.已知,,,则的值为()11/11A.1.B..C.2.D..【答】C.由已知等式得,,,所以.于是,,,.所以,,,即。代入,得,解得.2011年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范第2页(共8页)所以.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.在△ABC中,已知,,则.【答】。延长AB到D,使BD=BC,连线段CD,则,所以CA=CD。作于点E,则E为AD的中点,故,.在Rt△BCE中,,所以,故.2.二次函数的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两点,与y轴正方向交于C点,若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则.【答】2
5、.11/11由已知,得,,,.过D作于点E,,则,即,得,所以或.又,所以.又,即,得.3.能使是完全平方数的正整数n的值为.【答】11.当时,,若它是完全平方数,则n必为偶数.若,则;若,则;若,则;若,则。所以,当时,都不是完全平方数.当时,,若它是完全平方数,则为一奇数的平方。设(k为自然数),则.由于和一奇一偶,所以,于是,故.2011年全国初中数学联合竞赛试卷参考答案及评分规范第3页(共8页)4.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F,如果,,D为EF的中点,则AB=.【答】24.设,则.连AD,BC.因为AB为
6、⊙O的直径,AF为⊙O11/11的切线,所以.又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点,∴,∴,∴,∴.在Rt△AEF中,由勾股定理得,即.设,由相交弦定理得,即,∴①又∵,∴.又,∴,从而.在Rt△ACB中,由勾股定理得,即,∴.②联立①②,解得.所以.第二试(A)一、(本题满分20分)已知三个不同的实数满足,方程和有一个相同的实根,方程和也有一个相同的实根.求的值.解依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.设是方程①和方程②的一个相同的实根,则两式相减,可解得.……………………5分设是方程③和方程④的一个相同的实根,则两式相减,可解得。2011年全国初中数学联合
7、竞赛试卷参考答案及评分规范第4页(共8页)所以.……………………10分11/11又方程①的两根之积等于1,于是也是方程①的根,则。又,两式相减,得.……………………15分若,则方程①无实根,所以,故.于是.又,解得.……………………20分二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且,为的中点.求证:(1);(2).证明(1)由已知得,从而四点共圆,为直径,为该圆的圆心.……………………5分作于点,知为的中点,所以==,从而.……………………10分(2)作于点,则.又,∴,……………………15分∴R
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