全国初中数学联赛试题及解答

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1、2011年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）221(−a)1(−b)1．已知a+b=2，+=−4，则ab的值为（）ba11A．1.B．−1.C．−.D．.222．已知△ABC的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为()A．5.B．6.C．7.D．8.23．方程

2、x−

3、1=4(−23)(x+)2的解的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有()A．

4、5组.B．7组.C．9组.D．11组.5．如图，菱形ABCD中，AB=3，DF=1，∠DAB=60°，∠EFG=15°，FG⊥BC，则AE=()A．1+2.B．6.C．23−1.D．1+3.1111111112346．已知+=，+=，+=，则++的值为()xy+z2yz+x3zx+y4xyz35A．1.B．.C．2.D．.22二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC中，已知∠B=2∠A，BC=,2AB=2+23，则∠A=．22．二次函数y=x+bx+c的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均

5、为等腰直角三角形（O为坐标原点），则b+2c=．Cn3．能使2+256是完全平方数的正整数n的值为．4．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点BAEO3A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE=CE，4DAC=85F，D为EF的中点，则AB＝．第二试（A）2一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a,b,c满足a−b+c=3，方程x+ax+1=0和222x+bx+c=0有一个相同的实根，方程x+xa+=0和x+cx+b=0也有一个相同的实根．求a,b,c的值．D二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知∠=BAD60°，∠=ABC90°，

6、∠BCD=°120，对角MSCP线AC,BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中NAB点．求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC．三．（本题满分25分）已知m,n,p为正整数，m

7、20，对角NAB线AC,BD交于点S，且DS=2SB．求证：AD=DC．三．（本题满分25分）已知m,n,p为正整数，m

8、F，求证：CN是∠ACB的平分线．三．（本题满分25分）题目与（B）卷第三题相同.2011年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.B221(−a)1(−b)22由+=−4可得a1(−a)+b1(−b)=−4ab，ba2233即(a+b)−(2a+b)+a+b+4ab=0，2222即22(−++−++=ab)2(aabba)4b0，即22−ab+=4ab0，所以ab=−1．2.B2S2S2S设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为,,．显520h⎧2S2S2S+>,2S>2S⎪20h520然，于是由三边关系

9、，得⎨解得4,⎩205h大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3.C22当

10、x

11、≥1时，方程为x−1=4(−23)(x+)2，即x−4(−2)3x−9+43=0，解得x=3，x=−433，均满足

12、x

13、≥1．1222当

14、x

15、<1时，方程为1−x=4(−23)(x+)2，x+4(−2)3x+7−43=0，解得x=−32，满足

16、x

17、<1．综上，原方程有3个解．34.C显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其