2003年全国初中数学联赛试题及解答

2003年全国初中数学联赛试题及解答

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1、2003年全国初中数学联合竞赛试卷第一试(4月13日上午8:30—9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.2322−+−17122等于()A.542−B.421−C.5D.12.在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是()A.0B.1C.3D.53.若函数yk=>xk(0)与函数y=1的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则x△ABC的面积为()2A.1B.2C.kD.k4.满足等式xy+−xy2003x−2003y+2003xy=2003的正整数对(x,y)的个数()A.1B.2C.3D.45.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且AD=1.若在边AC上取一点E,A

2、B3使四边形DECB的面积为3,则CE的值为()4EAA.1B.1C.1D.1DC23456.如图,在□ABCD中,过A,B,C三点的圆交AD于E,E且与CD相切.若AB=4,BE=5,则DE的长为()ABA.3B.4C.15D.1645二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.抛物线2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若△ABC是直角ya=++xbxc三角形,则ac=__________.2932.设m是整数,且方程32xm+x−=0的两根都大于−而小于,则57B'Cm=____________.AEBD3.如图,AA',BB'分别是∠EAB,∠DBC的平分线.若AAB''==BAB

3、,则∠BAC的度数为_____________.A'4.已知正整数a,b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a,b中较大的数是_________.第二试(A)一、(本题满分20分)试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.二、(本题满分25分)在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P.设线段PA,PB的中点分别为M,N.求证:⑴△DEM≌△DFN;⑵∠PAE=∠PBF.三、(本题满分25分)已知实数a,b,c,d互不相等,且abcd+1111=

4、+=+=+=x,bcda试求x的值.第二试(B)一、(本题满分20分)试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.二、(本题满分25分)在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA,CB到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作CA,CB的垂线,相交于P.求证:∠PAE=∠PBF.三、(本题满分25分)已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16.⑴这样的四边形有几个?⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值.第二试(C)一、(本题满分20分)已知实数a,b,c,d互不相等,且abcd+1111=+=+=+=x,bc

5、da试求x的值.二、(本题满分25分)在△ABC中,D为AB的中点,分别延长AC,BC到点E,F,使DE=DF;过E,F分别作AC,BC的垂线,相交于P.求证:∠PAE=∠PBF.三、(本题满分25分)已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16.⑴这样的四边形有几个?⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值.2003年全国初中数学联赛试卷答案第一试一、选择题1、(D);2、(C);由于任何凸多边形的外角之和都是360º,故外角中钝角的个数不超过3个,即内角中锐角最多不超过3个。3、(A);11设A(x,y),则xy=1,故Sx=y=。又因为△ABO与△CBO同

6、底等高,ΔABO22因此,SS=×21=ΔΔABCABO4、(B);由已知等式可得(xy−+2003)(xy+2003)=0而xy++2003>0,所以,xy−2003=0。故xy=2003⎧x=1⎧x=2003又因为2003为质数,必有⎨或⎨⎩y=2003⎩y=15、(B);AD31CE如图,连结BE,S=1−=,设=x,则ΔADEE44ACBC11−x1CE1Sx=−1。Sx===,。故=ΔABEΔADE344EA36、(D);D如图,连结AC、CE。C由AE∥BC,知四边形ABCE是等腰梯形。故AC=BE=5。E又因为DC∥AB,DC与圆相切,所以,∠BAC=∠ACD=AB∠ABC。则

7、AC=BC=AD=5,DC=AB=422DC16因为DCA=⋅DDE,故DE==AD5二、填空题1、-1;c设A(,0),(,0)xBx。由△ABC是直角三角形可知x,x必异号。则xx=<0121212a22c由射影定理知OC=⋅AOBO,即cxx=⋅=;故ac=1,ac=−112a2、4;2⎧⎛⎞99⎛⎞⎪32×⎜⎟−+×m⎜⎟−−>0⎪⎝⎠55⎝⎠813由题设可知,⎨,解得34<

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