2020届新高考数学二轮微专题突破03 运用建系研究向量问题（解析版）.docx

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1、专题03运用建系研究向量问题一、题型选讲题型一向量中与四边形有关的建系四边形中最常见的建系图形是矩形、正方形以及菱形等含有直角的特殊图形，选择相互垂直的一组边分别作为x轴，y轴。对于普通的四边形要合理的建议，主要目的就是为了更好地表示点坐标。例1、如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是____________．【答案】【解析】建立如图的直角坐标系，则、、，设，因为，所以，解得，从而11/11．例2、(2019通州、海门、启东期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，∠BAD＝45°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上一点P满足＝2，则·＝________

2、．【答案】16　【解析】解析(坐标法)：以A点为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则根据题设条件可得A(0，0)，B(4，0)，D(1，1)，C(5，1)，E(，)，F(3，1)，又因为＝2，所以设点P(x，y)，从而(x－3，y－1)＝2＝(9－2x，1－2y)，故，解得，故＝，从而·＝2×8＝16.向量的运算问题，通常有两种基本方式，一是基底法、二是坐标法．一般地，基底法更具有一般性，基底法的难点在于将所研究的向量表示为基底的形式，坐标法一般用于一些特殊的图形，即便于建立坐标系的问题．本题中的两种解法的难易程度相当．题型二向量中与三角形有关的建系若三角形为直角三角形

3、则以两个直角边为x轴，y轴。若为等腰三角形或者等边三角形则以底边和底边上的高分别为为x轴，y轴。若为一般的三角形则要合理的建系，目的是为了更好地表示点坐标。例3、(2019苏锡常镇调研）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则·的最大值为________．【答案】－　【解析】解法1(坐标法)　以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，1)，D，E，11/11设P(p，0)，Q(0，q)，则p>0，q>0，且直线PQ：＋＝1，因为点E在直线PQ

4、上，所以＋＝1，·＝(－2，q)·(p，－1)＝－2p－q＝(－2p－q)＝－－≤－－2＝－，当且仅当＝，即p＝q＝时取“＝”，所以·的最大值是－.例4、已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则·的值为________．【答案】.【解析】解法：　建立如图所示平面直角坐标系，A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，D，E(0，0)，设点F(x0，y0)由DE＝3EF得＝3，故＝3(x0，y0)，故x0＝，y0＝－，所以＝，故·＝·(2，0)＝.例5、(2019苏北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC

5、＝60°，P为△ABC所在平面内一点，满足＝＋2，则·的值为________．11/11【答案】－1　【解析】解法(坐标法)以A为原点，AC为x轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，)，C(3，0)，设P(x，y)．由＝＋2得(x－3，y)＝(1－x，－y)＋2(－x，－y)，得x＝1，y＝，所以P，·＝·(1，)＝－2＋1＝－1.题型三、向量中与圆或半圆有关的建系圆或者半圆一般以相互的直径分布为x轴，y轴。例6、(2018苏锡常镇调研）如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为【答案】【解析】思路分析：首先可以考虑解决平面

6、向量数量积问题的两大类方法：坐标法和基底法进行求解.解法1（坐标法）以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，，则直线，由于点在单位圆在第一象限的圆弧上，可设，，设点关于直线的对称点，则，可得，即所以令，则且故，所以的取值范围为．题型四向量中与多边形中问题有关的建系对于多边体或者不规则的几何体的建系，要在几何体中寻找相互垂直的一对边为x轴，y轴。11/11例7、(2018南京、盐城一模）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则·的最大值为________．【答案】24【解析】　本题

7、所给是确定的，所以根据数量积定义·的最大值即在上的投影最大，可以选取几个特殊位置逐一检验，也可以用图形作出投影的最大值．解法1如图1建立平面直角坐标系，A，B(0，0)，那么很容易得到C(0，5)，此时D的位置可以有三个点可以选择，分别是D1，D2(－，0)，D3，分别求出·的值为21，24，22.5，所以·的最大值为24.　二、达标训练1、(2019南京、盐城二模）已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足(＋)