第2章数列§2.3等差数列的前n项和(二).doc

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1、§2.3　等差数列前n项和(二)对点讲练一、已知前n项和Sn，求an例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.分析　利用数列的通项an与前n项和Sn的关系an＝.解　当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.又∵a1＝－1，适合an＝4n－5，∴an＝4n－5(n∈N*)．总结　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．►变式训练1　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求a

2、n.解　当n＝1时，a1＝S1＝3＋b.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1因此，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1.当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1，∴an＝.综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝.二、等差数列前n项和最值问题例2　在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．解　方法一　利用前n项和公式和二次函数性质．由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得d＝－2，所以Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)

3、2＋169，由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.方法二　先求出d＝－2，因为a1＝25>0，由　得　所以当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.方法三　由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n＝13时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此Sn的最大值为169.总结　在等差数列中，求Sn的最大(小)值，

4、其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．►变式训练2　等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？解　方法一　由S9＝S12，得d＝－a1，由，得，解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二　由S9＝S12，得d＝－a1，由Sn＝na1＋d＝n2＋n，得Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1(a1<0)，由二次函数性质可知n＝＝10.5时，S

5、n最小．但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．三、已知{an}为等差数列，求{

6、an

7、}的前n项和例3　已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{

8、an

9、}的前n项和Tn.解　由S2＝16，S4＝24，得　即　解得所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．(1)当n≤5时，Tn＝

10、a1

11、＋

12、a2

13、＋…＋

14、an

15、＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.(2)当n≥6时，Tn＝

16、a1

17、＋

18、a2

19、＋…＋

20、an

21、＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(

22、－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝总结　等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．►变式训练3　数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝

23、a1

24、＋

25、a2

26、＋…＋

27、an

28、，求Sn.解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.(

29、2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Sn＝

30、a1

31、＋

32、a2

33、＋…＋

34、an

35、＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn＝2·(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Sn＝

36、a1

37、＋

38、a2

39、＋…＋

40、an

41、＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.∴Sn＝.课堂小结：1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，

42、然后验证两种情况可否用统