例说三角形三边关系的几种典型运用

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1、例说三角形三边关系的几种典型运用三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边．利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目．现举例说明．一、已知两边求第三边的取值范围例1用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m和7m，问第三条绳子的长有什么限制．解析　根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a、b，则第三边c满足

2、a－b

3、＜c＜a＋b．设第三条绳子的长为xm，则7－3＜x＜7＋3，即4＜x＜10．故第三条绳子的长应大于4m且小于10m．二、判定三条线段能否围成三角形例2　以下列各组线段为边

4、，能组成三角形的是（）A．1cm，2cm，4cmB．8cm，6cm，4cm　　C．12cm，5cm，6cm　D．2cm，3cm，6cm解析根据三角形的三边关系，只需判断较小的两边之和是否大于最大边即可．因为6+4＞8，由三角形的三边关系可知，应选B．例3有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a－3，a，3(其中a＞3)；（2）a，a＋4，a＋6(其中a＞0)；（3）a＋1，a＋1，2a(其中a＞0)．解析　（1）因为(a－3)＋3=a，所以以线段a－3，a，3为边的三条线段不能组成三角形．（2）因为(a＋6)－a=6，而6与a＋4的大小关系不能确定，所以以线段a，a＋4

5、，a＋6为边的三条线段不一定能组成三角形．（3）因为(a＋1)＋(a＋1)=2a＋2＞2，(a＋1)＋2a=3a＋1＞(a＋1)，所以以线段a＋1，a＋1，2a为边的三条线段一定能组成三角形．三、确定组成三角形的个数问题例4、现有长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm-4-的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（）A．1　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4解析要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重．由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm、3cm、4cm，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm、4cm

6、、5cm，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm、3cm、5cm，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm、4cm、5cm，则也可以组成三角形．即分别为2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C．例5求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？解析　设较大边长为a，另两边长为b、c．因为a＜b＋c，故2a＜a＋b＋c，a＜(a＋b＋c)．又a＋a＞b＋c，即2a＞b＋c．所以3a＞a＋b＋c，a＞(a＋b＋c)．所以，(a＋b＋c)＜a＜(a＋b＋c)．×24＜a＜×24．所以8＜a＜12．即a应为9，10，11．由三

7、角形三边关系定理和推论讨论知：由此知符合条件的三角形一共有7个．四、确定三角形的边长例6、一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．解析先利用三角形的三边关系求出第三边的范围，然后再从所请求的范围内确定奇数即可．设第三边长为x厘米，因为9-2

8、x＝21，且y+x-4-＝12．解得x＝8，y＝17；或x＝14，y＝5．显然当x=8，y=17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去．故此三角形的腰长是14cm．注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边关系定理及推论．五、化简代数式问题例7、已知三角形三边长为a、b、c，且

9、a＋b－c

10、＋

11、a－b－c

12、=10，求b的值．解析　这里可运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号．因a＋b＞c，故a＋b－c＞0`因a－b＜c，故a－b－c＜0

13、．所以

14、a＋b－c

15、＋

16、a－b－c

17、=a＋b－c－(a－b－c)=2b=10．故b=5．三角形三边关系的应用 三角形的三边关系是：“三角形两边的和大于第三边”。这里的“两边的和”指的是“任意两边的和”，根据这一关系可判断已知的三条线段能否构成一个三角形。　　方法：当线段a、b、c同时满足：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b时，可以构成三角形．也可简化为：如果三条线段a、b、c从小到大排列，只要满足a+b大于c便可构成三角形．例以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？（1）6㎝，8㎝，10㎝；（2）5㎝，8㎝，2㎝