略论数学反思能力的培养

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1、略论数学反思能力的培养北京师范大学数学科学学院曹一鸣河南省济源职业技术学院王仲英（2004年6月8日星期二投中学数学教学参考，2004-10发表）反思是个体，乃至整个群体成熟的一个重要标志．人类自古以来就具有反思意识，在我国古代有“反求诸己”、“扪心自问”、“吾日三省吾身”等至理名言.近年来，有关“反思”的研究日渐增多，但绝大部分是从哲学、心理学、教育学的视野中研究得出的一般性结果，或在普遍性结论中辅以学科例子的佐证．而以数学为直接研究对象，对中学生数学反思能力培养的研究则较少。数学学习中的反思、反思能力是近年来越来越受关注的一个课题.普通高中数学课程标准（实验）则把“

2、反思”这一教学理念提到了应有的高度：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知，……，反思与建构等思维过程．这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”，同时提出，评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程，并改进学习方法”，“教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程”．近年来，我们在这方面作了一些探索，现通过两篇文章来介绍我介绍研究．一、关于反思历史上较早研究反思的有洛克（J.Loke）、斯宾诺莎（B.Spinoza）等.洛克在《人类理解论》

3、中谈到，“反省”是获得观念的心灵的反观自照，在这种反观自照中，心灵获得不同于感觉得失的观念的观念，是人们自觉地把心理活动作为认识对象的认识活动，是对思维的思维．可见，洛克的反省是把思维活动作为思维对象，反省主要着力于人的观念的来源．斯宾诺莎把自己的认识论方法称做“反思的知识”，而“反思的知识”即“观念的观念”，是认识所得的结果，它本身又是理智认识的对象，对于作为认识结果的观念的再认识和对于这种再认识之所得观念的再认识，这种理智向着知识的推进，即是“反思”．由此可见，斯宾诺莎的反思是把思维所得的结果作为思维对象，反思主要着力于既得真观念的理性升华．由此可见，斯宾诺莎的反思

4、和洛克的反省的主要方面是基本相同的．他们都是从知识的来源和知识的升华的角度给反思以重要的地位．此后，杜威较系统地对反思进行了论述.他认为教育即经验之改造，而经验又是人与环境之间的相互作用，这种相互作用的实现要通过“反省”思维，即对某个问题进行反复的持续不断的深思，由此可见，问题情境是诱发反思的根源，“反复性”、“持续不断性”说明“反思”的困难程度和频繁程度，以及所需要的毅力．杜威将“反思”概括为一种特殊的思维形式，认为反思起源于主体在活动情境过程中所产生的怀疑和困惑，是引发有目的的探究行为和解决情境问题的有效手段，是“对任何信念或假定的知识形式，根据支持它的基础和它趋于

5、达到的进一步结论而进行的积极的、坚持不懈的和仔细的考虑”，它“包括这样一种有意识和自愿的努力，即在证据和理性的坚实基础上建立信念．”杜威的反思更加明确了反思的“问题情境性”等特点．使这种心理活动更具有可操作性的特点，便于教学中教师和学生实施．杜威的反思中包含这样几层意思：一是反思是一种思维活动（深思熟虑）；二是反思具有对象性（针对自己的行为及情境进行的）、自觉性（有意识和自愿的积极性）、技巧性（从支持反思的对象的“基础”及“趋于达到的进一步结论”上着手）和目的性（在证据、理性和坚实基础上建立的信念，以批判为手段，以解决问题、自我发展和提高为目的）；三是反思具有探究性，反

6、思不仅仅“回忆”或“回顾”已有的“心理活动”，而且要找到其中的“问题”以及“答案”，是为了指导未来的行动；四是反思以“道德感”为突破口，需要一些非智力因素的支持，例如意志努力（坚持不懈的和仔细的）、习惯（良好的）和情感（积极的）等．伯莱克（J.Berlak）认为“反思是立足于自我之外的批判地考察自己的行动及情境的能力”．博伊德与费勒斯认为反思是“创造性地并根据最终是一个变化的理性观念的自我（与自我联系的自我和与世界联系的自我）澄情经验意义的过程”．博伊德与费勒斯的反思突出了“自我”的价值，明确了反思的对象是“自我”反思的，目的是“澄清经验的意义”构建“自我”连续体，突出

7、了反思的完整的过程．现代认知心理学则从元认知的视角来探讨有关反思的范畴.二、关于数学中的反思数学教学过程中,反思历来具有重要的地位和作用.荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal）教授指出，“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”．美籍数学教育家波利亚（G.Polya）也说，“如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”，“通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子，学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力．”曹才翰先生也非常重视并倡导培养