东南大学信号与系统课件第五章

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1、第五章连续时间系统的复频域分析§5-1引言——从FT到LT一、FT的优点和不足优点：1、避免微分方程求解和卷积计算，简化了系统响应求解过程；2、物理意义明确。如：谐波，频响，带宽，等。不足：1、只能处理满足收敛条件的信号，对某些不满足条件的信号必须引入奇异函数解决，不方便；2、必须计算广义积分：，有时计算比较困难；3、只能求系统的零状态响应。二、拉普拉斯变换（LT）的优点：1、可以自动引入初始条件，求系统的全响应；2、变方程的微积分运算为乘除运算，变卷积运算为乘法运算，计算过程简化；3、对信号的适应性比FT强，不用引入奇异函数；拉普拉斯变换在电

2、路分析课程中已经有所涉及，在本课程中，将对拉普拉斯变换进行更加深入的研究。§5-2拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的推导途径：1、从数学角度：通过积分变换进行函数到函数的变换，将微分方程变为代数方程。2、从物理意义推导：本质上依然是将信号分解为多个正交的子信号的和（积分），或可以从FT推广出。从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，可以更加清晰地解释其物理含义，并且可以将两种变换紧密地联系起来。二、从FT到LT²FT存在的条件是其积分结果收敛。²如果不收敛，可以考虑用收敛因子——将原信号乘以——强行使其收敛，再进行FT。例1：原信号：，新信号：只要足够大，使

3、，总能收敛。例2：原信号：，新信号：当时，负半边收敛，正半边发散。只要，一定收敛。通过乘以收敛因子，可以使原来不收敛的信号收敛，从而可以用FT加以处理。²假设原信号为，通过乘以收敛因子后，新的收敛的信号为，其FT为：或记作：这就导出了拉普拉斯变换。²将其与傅里叶变换式相比较:可见，从公式的形式上看,将FT中的纯虚数推广为复数，就可以导出LT；反之，令LT中的复变量的实部为零，就可以得到FT。可以这样认为：FT是LT的一个特例，LT是FT的推广。一、拉普拉斯变换可以由的IFT求出：或记作：反变换积分线S平面至此可得到拉普拉斯变换对：F(s)称为f

4、(t)的拉普拉斯变换，f(t)称为F(s)的原函数。²从两种变换的历史上讲，拉普拉斯变换并不是由傅里叶变换导出的。PierreSimonLaplace，（1749－1827），法国数学家、天文学家、物理学家。1812年在其《概率论的解析理论》中提出了拉普拉斯变换；JeanBaptisteJosephFourier，（1768－1830），法国数学家、物理学家。1807年提出傅里叶变换，但是直到1822年在其著名的《热的解析》一书中才得以确认；一、单边和双边拉普拉斯变换l上面讨论的信号，在和时都可能有非零值，是双边信号，相应的变换称为双边拉普拉斯

5、变换，用和表示。l实际电路中的信号往往是有始信号，这时的拉普拉斯变换称为单边拉普拉斯变换，记作：如果没有特别说明，一般的LT均指单边LT。l单边LT可以一般是用于处理右边（有始）信号，但是也可以处理双边信号的右边部分——但显然这时的反变换只能计算出双边信号的右边部分，左边部分无法恢复一、LT的物理意义²比较拉普拉斯反变换和傅里叶反变换公式可以看出:l与FT一样，LT也可以看成是将信号分解为多个子信号的和：FT中：子信号为双边LT中：子信号为单边LT中：子信号为n其中的可以是任意一个确定的实数。这可以给这个变换的使用带来很多方便n可以证明，无论单

6、双边变换，其子函数集都是正交函数集lFT中：的频率分量相加，得到一个（幅度不变的）正弦波；LT中：的频率分量（或共轭的和）相加，得到幅度变化的正弦波。²s是复数，可以用复平面中的一点表示，该复平面称为s平面。LT实际上是利用了s平面上的所有实部为固定值的点对应的子信号构成正交子信号集，用来表示任意信号。S平面图：对于实信号f(t)，其LT同样满足共轭对称性，即（正如FT中LT也可以用来处理复数信号。§5-3LT的收敛区间一、函数的LT存在的条件：²函数的LT存在与否与的取值有关。如果的值合适——>收敛——>存在——>存在。所以，的LT存在的（充

7、分）条件，是存在是，使满足Direchlet条件。二、收敛区的定义：使满足绝对可积条件的的取值区间称为的LT的收敛区，应该满足的条件称为收敛条件。在这个区间内，的LT存在；在区间外，的LT不存在。一、单边LT的收敛区²单边LT只处理右边信号,或者双边信号的右边部分;²对于右边信号，如果存在，使收敛，则对于任意一个大于的，一定收敛。所以，单边信号的收敛区间的右边界一定为一定为，一般形式为，或收敛条件为。其中称为收敛坐标，s平面上的垂线称为收敛边界（或收敛轴）。收敛区收敛轴S平面²单边LT的收敛区间一定是一个左开区间，不包含收敛轴。²上面关于右边信

8、号的收敛区的讨论得到的结论可以推广到任意一个有始（右边）信号。例1：单边指数信号的收敛区间为的右半平面，即。²是使信号收敛的因子，它是否可以为负值？例