东南大学信号与系统课件第二章

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1、第二章连续时间系统的时域分析§2-1引言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。一、建立数学模型数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。对电系统而言，《电路分析》课程中已经提供了相应的理论和方法，主要有KCL和KVL方程。线性非时变系统的微分方程的一般形式为：二、求解（时域解）1、时域法将响应分为通解和特解两部分：1）通解：由方程左边部分得到的特征方程所得到的特征频率解得的系统的自然响应（或自由响应）；1）特解：由激励项得到的系统的受迫响应；2）带入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不

2、容易了——这时候很难确定特解的形式。1、卷积法（或近代时域法，算子法）这种方法将响应分为两个部分，分别求解：1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应；2）状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应。l系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中只有自然响应部分；l系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是用卷积积分法更加方便。借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。所以这种方法有很大的实用价值。l卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无法确定初始状态。l零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应之间并不相等，具体对比见§2

3、-9经典法在高等数学中已有详细介绍。本课程中重点介绍近代时域法。§2-2系统微分方程的算子表示一、微分算子通过微分算子可以简化微分方程的表示。微分算子：令，，l利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：即可以将电感和电容记成阻值为和的电阻。l利用算子可以将微分方程表示为：按照代数运算法则，提取公因子，可以将上式简化为：或进一步简化为：定义：则：注意上面只是微分方程的一种简单记法，并不代表能进行这样的计算。一、算子运算法则1、，其中m,n为任意整数。2、,其中m,n同为任意正整数（或负整数）。1、，但是：1）不一定等于1——微分和积分的次序不能交换；2）如果,不一定能够推出，只能得到

4、——>等式两边的公共因子不能抵消。可见，大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用。§2-3系统的零输入响应零输入响应是下列其次方程的解：对它有两种解法：1）经典解法2）初始条件法一、经典法用经典法求解零输入响应由如下两步构成1、确定系统的自然频率令D(p)=0，将p看成一个代数量，解得其n个特征根。2、确定零输入响应的形式解：1）如果没有重根，则可以确定其形式解为：其中为待定常数。2）如果有重根，假设是一个k重根，即，则形式解为：3、根据初始条件，确定待定系数。一般的初始条件为已知零时刻的响应及其各阶导数，带入形式解中就可以确定待定系数。由上面的n个方程就可以确定n个待定系数。或者记

5、为矩阵形式：其它形式的初始条件，以及特征方程中有重根的情况下的待定系数也可以用相似的方法和过程解出。例：P32，例题一、等效源法这种方法将初始条件看成是一个在t=0的瞬间加上的激励源（阶跃或冲激），然后将系统的初始条件归为零，从而将求解零输入响应的问题转化为求解零状态响应的问题，在后面求解零状态响应中一并处理。等效源法将在时域解法中用得不是很多，本课程将在Ch5中介绍其原理。小结：系统零输入响应的时域求解方法就是经典的微分方程的解法,只不过这时由于不存在输入,系统的求解计算就简单了很多。系统零状态响应的求解过程²求解零状态响应的基本思想求解零状态响应的基本思想，就是：1）将任意信号分解为

6、一系列“标准统一”的子信号之和（或积分），2）求线性系统对各个子信号的响应，3）将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。这其中利用到了线性系统的齐次性和叠加性。为了求解线性系统的零状态响应，必须解决以下几个问题：1）选取什么样的子信号？2）如何将信号分解为子信号的和或积分？3）如何求系统对子信号的响应？4）如何求得最后的响应？在下面的各节中，我们将就上面的问题一一进行讨论。其中，§2-4介绍了时域分解法中使用的子信号；§2-5介绍如何将任意信号分解为子信号之和；§2-6介绍如何求子信号的响应；§2-7～§2-9介绍如何通过叠加，从而求出系统的响应。§2-4奇异函数本节解决的

7、是时域法中子信号选取问题。子信号的选取对系统分析至关重要。为了利于分析，要求子信号具有：1）完备性：任意函数（或决大部分函数）都可以分解为该子信号的和，没有（或几乎没有）例外；2）简单性：容易求得系统对该子信号的响应；1）相似性：不同子信号的响应具有内在联系，可以类推。奇异函数是一种理想化的函数，它具有一个或多个间断点，在这些点上无法确定函数或其导数值。常用的有阶跃函数和冲激函数。1、阶跃函数任意函数乘以以后，其t<0部分等于零，成