东南大学信号与系统课件 section 4-5new

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1、Chapter3信号分析§3-4周期信号的频谱∞A0f(t)=+Acos(nΩt−ϕ)由三角形式∑nn2n=1幅度谱An~nΩ,n=0,1L（半边谱）相位谱ϕn•∞AnjnΩtf(t)=e或由指数形式∑2n=−∞幅度谱A/2n~nΩ,n=0,±1,±2L（双边谱）相位谱ϕn东南大学移动通信国家重点实验室1．周期信号频谱的例子∵f（t）为偶函数∴A&n=an实函数，为τ/2&24AnΩτ2AτnΩτA=AcosnΩtdt=sin=Sa()n∫TnΩT2T2−τ/2东南大学移动通信国家重点实验室∆si

2、nx其中，Sa(x)=，称为抽样（Sample）函数，如图所示：x故：东南大学移动通信国家重点实验室2AτnΩτ2kπA&=Sa()在nΩ=,k=±1,±2L处为过零点。T2τ设T=4τ则f(t)的幅度谱与相位谱分别如下：（图示于黑板上）&注：由于An=an为实函数，两谱可合一。东南大学移动通信国家重点实验室2．周期信号频谱的特点（1）离散性：离散频率（时域中周期→频域中离散）；（2）谐波性：只在谐波频率nΩ上；（3）收敛性：n取足够大，其余高频分量可以忽略。3．有效频宽（占有频宽）B（1）A最大

3、值的1/10为限；(对单调递减型频谱)n2π（2）第一个过零点，如本例中B=⇒*Bτ=常数τ（3）总功率90%为限。（可由后述Parseval定理求）东南大学移动通信国家重点实验室4．波形变化时频谱的变化2π（1）T不变，τ改变：⇒谱线间隔Ω不变，过零点ω0=变：τ①τ↑⇒ω0↓，有效频宽内谱线数↓2πτ→T,ω0==Ω，只剩下A0项；即只有直流A0/2τ②τ↓⇒ω0↑，谱线数↑。特别是：τ→0,ω0→∞；东南大学移动通信国家重点实验室（2）τ不变，T改变⇒ω0不变，Ω变T↓→Ω↑有效频带内谱线数

4、↓①2π直流⇒T→τ⇒ω==Ω⇒0τT↑→Ω↓②⇒特别是T→∞,Ω→d,A&→无穷小量ωn但各分量有相对大小且：f(t)→非周期东南大学移动通信国家重点实验室§3-5非周期信号的频谱：傅立叶变换一、傅立叶正、反变换∞A&n−jnΩt由fT(t)=∑e,Ω=2π/Tn=−∞2T/2&2−jnΩtA=f(t)edtn∫T−T/2(取f(t)=limf(t)时A&→无穷小量)TnT→∞为使A&不为无穷小量，则定义反映各分量相对大小的量nA&nF(jnΩ)=2/T东南大学移动通信国家重点实验室F(jω)=

5、limF(jnΩ)令T→∞，称为非周期信号的频谱密度函数，Ω→dωnΩ→ω简称频谱。T/2∞−jnΩt−jωtF(jω)=lim∫f(t)edt=∫f(t)edt∴T→∞Ω→dω−T/2−∞nΩ→ω东南大学移动通信国家重点实验室又由：∞A&njnΩtf(t)=limfT(t)=lim∑eT→∞T→∞2n=−∞∞F(jnΩ)jnΩt=lim∑eT→∞Tn=−∞2πT=代入Ω1∞jnΩt=lim∑F(jnΩ)eΩT→∞2πn=−∞Ω→dωnΩ→ω∞1=jωt∫F(j

6、ω)edω2π−∞东南大学移动通信国家重点实验室小结：f(t)↔F(jω)∞−jωt其中，F(jω)=∫f(t)edt=F[f（t）]傅立叶正变换；−∞∞1记jωt−1f(t)=∫F(jω)edω=F[F(jω)]傅立叶反变换。2π−∞−jϕ(ω)一般，F(jω)=

7、F(jω)

8、e为复数称

9、F(jω)

10、~ω幅谱ϕ(ω)~ω相谱东南大学移动通信国家重点实验室二、关于频谱密度函数F(jω)1．密度函数的概念A&nF(jω)=limF(jnΩ)=limT→∞T→∞2/TπA&πA&(ω)nn=lim=T

11、→∞ΩdωΩ→dωnΩ→ω（分布函数⇒密度）东南大学移动通信国家重点实验室2．频谱密度函数的特点例1：求矩形脉冲f(t)的F(jω)。（单个脉冲）&2AτnΩτA=Sa()解：法一：nT2A&ωτnF(jω)=lim=AτSa()∴，实偶T→∞2/T2法二：直接用公式+∞−jωtωτF(jω)=∫f(t)edt=AτSa()2−∞东南大学移动通信国家重点实验室东南大学移动通信国家重点实验室讨论：（1）时域非周期→频域连续谱；（时域周期→频域离散谱；）（2）收敛性（∵能量有限才存在傅里叶

12、变换）同样可定义有效带宽：三种定义，参见前周期信号频谱中带宽的定义；a)最大幅度的1/10为限；b)第一个过零点；c)总能量的90%为限。东南大学移动通信国家重点实验室()与&（3）包络一致性：FjωAn包络一致，∵两者可互换A&nF(jω)=

13、nΩ=ω2/T&2A()

14、n=Fjωω=nΩT*（4）共轭对称性：F(jω)=F(−jω)，

15、F(jω)

16、~ω偶对称∴通常只画半边即奇对称ϕ(ω)~ω东南大学移动通信国家重点实验室（5）f(t)实偶↔F(jω)实偶；f(t)实奇↔F(