矩阵a的m重伴随矩阵的性质

《矩阵a的m重伴随矩阵的性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文矩阵A的m重伴随矩阵的性质数学系01数本2001141105程清妹指导老师：杨忠鹏摘要　本文定义了矩阵的重伴随矩阵，并利用已有的理论成果，对的性质进行推广，主要讨论了的行列式、秩、转置和逆矩阵与的关系，及为特殊阵与为特殊阵之间的联系，发现的重伴随矩阵的性质与的性质很相似.关键词　矩阵；伴随矩阵；秩；特征值；数学归纳法0引言设是阶方阵，的伴随矩阵定义如下定义1　设是阶方阵的元素的代数余子式，则阶方阵，其中，称为的伴随矩阵　　　　本文推广了这一定义，给出了

2、的重伴随矩阵的概念定义2　设为阶方阵，称阶方阵为的重伴随矩阵，记为＝,特别地，，引理　设为阶方阵，则秩　证明：（1）当秩，即可逆时，由于，故也是可逆的，即秩；　　　　（2）当秩时，有，于是，从而秩；　　　　　　又因为秩，所以至少有一个代数余子式，从而又有秩，　于是秩　　　　（3）当8莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文引理　设为阶方阵，则有证明：（1）当时，由引理1知秩，如果，由引理1知秩，因此如果，令也有（2）当时，则也，则，于是　　　主要结果命题1.1　当＝时，秩＝　　　　　　　当>

3、2时，秩＝证明：　当>时由引理1知，　秩＝　　　　　所以　　　　　秩　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　秩　　　　　当时　　　　　设＝，则，8莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文　　　　　　　所以　因此　　秩＝秩＝命题得证命题1.2　设为阶方阵（），＝证明：（1）因为　当，时　　　　　　　从而得到关于的指数的一个数列，且　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由数列的性质得到通项公式，则同理可证，当，　　　　　　　　　　　　　　　　从而得到关于的指数

4、的一个数列，且　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文由数列性质得到通项公式，则（2）用数学归纳法证明结论　　　　　当，时，　　　　　取＝１，有，则＝，等式成立　　　　　设时，等式成立，即＝　　　　　当时，=等式成立　　综上所述，当，，有同理可证，当，，有命题得证命题1.3　证明：若，由引理1知，当时，，则有　　　　　若，即　时，有命题1.4　可逆时，有=证明：（数学归纳法）　　　当时，，等式成立　　　设时，　　　当时，综上所述，当时，有又由1.2

5、知，8莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文命题得证命题1.5　证明：由数学归纳法和1.2即可证得命题1.6　若是幂等阵，则也是幂等阵。证明：因为　，所以或　　　若，由引理1知，，则　　　若，可逆，则，即，所以　命题得证命题1.7　若是对合阵，则也是对合阵。反之也成立证明：由，得＝１或＝－１，且＝由1.2知，当时，由知，　　　　　当时，由知　　　　　所以，当时，有　　　　　反之，若，则＝或=，且　　　　由1.2知，＝１或＝－１，　　　　　　　　由1.4，当时，所以　，由知，即同理可证，当时

6、，因此，当，时，有命题得证命题1.8　若是正定阵，则也是正定阵，反之为正定阵，且为偶数，　可逆时，为正定阵8莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文证明：若正定，则，，有　　　因为　，　又由　，正定，，得正定　　　同理可证，正定，以此类推，正定反之，若正定，有正定因为　，当为偶数时，有为奇数，则由1.2知，当时，，正定，所以为正定阵同理可证，当时，也是正定阵命题得证命题1.9　若是正交阵，则是正交阵。反之也成立　证明：由已知得，且或　　　当时，由1.5知由1.4知，由上述可得时，，有，即为正

7、交阵若，当，，由，，知同理可证，当时，有所以，，，有，即为正交阵综上所述，若是正交阵，则是正交阵　　　反之，若，且或，8莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文则由1.2知或由1.5知，当时，得　，由知，即同理可证，当时，综上所述，当时，有命题得证命题1.10　设是阶方阵（），若是幂零阵，则是幂零阵证明：由，得或秩　　　（1）若，则（2）若秩，由1.1知，当时，秩，则　　　　当时，，有　　　　所以，当，有命题1.11　若是对称阵，则也是对称。反之是对称阵，且是可逆的，则是对称阵证明：运用1.

8、2即可得到命题1.12　若为反对称阵，当为奇数时，为对称阵；当为偶数时，为反对称证明：运用1.2即可得到结束语：本文得出的重伴随矩阵的一些性质与的关系，使的重伴随矩阵的性质简单化，望以后能进一步探论的重伴随矩阵的其它性质。8莆田学院2001级本科数学与应用数学专业毕业论文参考文献:北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数.第2版.[M]高等教育出版社.1978.(176-207)杨子胥.高等代数习题解.第2版.[M]山东科学技术出版社.2003.(522-54