数学建模-人口预测实验报告

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1、数学与计算科学学院实验报告实验项目名称人口预报所属课程名称数学模型实验类型综合型实验日期班级信计1001班学号201053100127姓名徐超成绩10一、实验概述：【实验目的】【实验原理】【实验环境】10二、实验内容：【实验方案】有效的控制我国人口的增长，不仅是深入贯彻落实科学发展观，到2020年实现全面建成小康社会的需要，而且对于全人类的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长产前提。请利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据，建立人口预测模型，并对模型作模型

2、的参数估计、检验和预报。表1美国人口（单位：百万）年17901800181018201830184018501860人口3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口38.650.262.976.092.0106.5123.2131.7年195019601970198019902000人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1模型假设（1）假设各年的人口数均为当年年末人口数。（2）假设人口数

3、量足够大,为时间的连续可微函数。（3）假设人口不流动，即不考虑迁入或迁出对全国总人口的影响。（4）假设生存空间等自然资源无限，不考虑自然资源对人口变化的影响。（5）不考虑大规模疾病等意外灾难因素对人口变化的影响。（6）不考虑同一时间间隔（例如每一年）内人口数量的变化。（7）假设成都市人口的老龄化趋势与全国基本保持一直。（8）假设我国的政治体制对人口状态变化的影响保持不变，如计划生育政策的稳定不变。2符号说明：模型（1）中表示第t年的实际人口数；：模型（1）中表示第t年的预测人口数；：模型（2）中表示内禀增长率；：模型（2）中表示初始年

4、份；：模型（2）中表示环境条件所能容许的最大人口数；：模型（2）中表示第t年的人口数；：模型（3）中表示嵌入维数；：模型（3）中表示10时间延迟；：模型（3）中表示重构相空间；：模型（3）中表示m维相空间的嵌入点数；：模型（3）中表示最大Lyapunov指数；：模型（3）中表示最长预测时间；：模型（4）中表示第k年的实际人口数；：模型（4）中表示第k年的预测人口数；：模型（5）中表示人口老龄化指数；：模型（5）中表示第i个年龄段的人数；：模型（5）中表示第i个年龄段的人数占总人数的比例。3模型建立（1）针对问题（1），我们建立了三个模

5、型：模型（1）：灰色系统模型模型（2）：Logistic人口模型模型（3）：最大Lyapunov指数预测模型（2）针对问题（2）,我们建立了等维灰数递补动态预测模型：模型（4）：（3）针对问题（3）,我们定义了老龄化指数模型（5）：4模型求解（1）问题（1）：我国人口数量的变化趋势A、模型（1）在模型（1）中包含两个参数：和，首先需要估计出这两个参数。我们把方程（1）改写为然后把换为并与原式作算术平均，得10求得时间函数的估计值：　　　　　　　　　　　　我们把上述方程作为我们的人口预测方程。根据我们上网查到的1981年~2005年的全

6、国人口统计数据，得到如下的原始数据序列：X(0)＝（100072101654103008104357105851107507109300111026112704　114333115823117171118517119850121121122589123626124761　125786126743127627128453129207129735130137）得人口预测方程：　将各个年份分别代入上面的方程即得各个年份的人口数据预测值，然后将其分别与实际值比较，并计算出其误差。实际值与预测值的比较图[1]该模型对于中短期的人口预测，所得结果

7、较为准确，大部分预测数据与实际数据的误差率都在2%以内，较好地估计出了最近几十年的人口数量。根据我们的模型所预测出的结果，到本世纪中叶我国的人口数量将超过15亿，但是根据国内的本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，可以预测我国的总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右，即我国人口的上限不会超过15亿人。这一结论与我们的模型所得到的数据有所出入。于是我们将模型进行改进,选择在长期预测方面比较精准的模型（2）Logistic人口模型来求解.B、模型（2）这个问

8、题是典型的伯努利方程初值问题，其解为：　　　　　分析上式可知：10（1）当时，，即无论人口初值如何随着时间推移而变化，人口总数总是趋向于一个确定的值；（2），所以当人口达到极限值的一半时，属于加速增长，超过一半属于减速增