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《第七章 第六节 空间向量及其运算(理)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第七章第六节空间向量及其运算（理）题组一空间向量的线性运算1.如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则(＋＋)化简的结果为( )A． B．C． D．解析：(＋＋)＝(＋)＝＝·2＝.答案：C2．如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )A．－a＋b＋c B.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝＋＝c＋＝c＋(－)＝－a＋b＋c.答案：A题组二空间中的共线、共面问题
2、3.A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点是否共面________(共面或不共面)．解析：＝(3,4,5)，＝(1,2,2)，＝(9,14,16)，设＝x＋y.即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y)，∴从而A、B、C、D四点共面．答案：共面4．如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．求证：平面EFG∥平面AB1C.证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝(a＋b)，＝a＋b＝2，∴∥，＝＋＝b－c＝(b－c)，＝＋＝b－c＝2，∴∥.又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，∴
3、平面EFG∥平面AB1C.题组三空间向量数量积及应用5.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于( )A．2· B．2·C．2·D．2·解析：〈，〉＝，∴2·＝2a2×cos＝a2.答案：B6．(2010·长沙模拟)二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝α，BD＝2a，则CD的长为( )A．2aB.aC．aD.a解析：∵AC⊥l，BD⊥l，∴〈,〉＝60°，且·＝0，·＝0，∴＝＋＋，∴
4、
5、＝＝＝2a.答案：A7．如图，平行六面体ABCD－A
6、1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．解：设＝a，＝b，＝c，则两两夹角为60°，且模均为1.(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.∴
7、
8、2＝(a＋b＋c)2＝
9、a
10、2＋
11、b
12、2＋
13、c
14、2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝3＋6×1×1×＝6，∴
15、
16、＝，即AC1的长为.(2)＝＋＝－＋＝b－a＋c.∴·＝(b－a＋c)·(a＋b)＝a·b－a2＋a·c＋b2－a·b＋b·c＝1.
17、
18、＝＝，
19、AC―→
20、＝＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴BD1与AC夹角的余弦值为.题组四空间向量及其运算的综合8.已知向量a＝(1，－3,2
21、)，b＝(－2,1,1)，O为原点，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求
22、2a＋b
23、；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b?解：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故
24、2a＋b
25、＝＝5.(2)假设存在一点E满足题意，即＝t(t≠0)．＝＋＝＋t＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为(－，－，)．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3
26、，AB＝2，E是DC上的点，且满足DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D1AB＝60°，设AC与BE的交点为O.(1)试用基向量，，表示向量；(2)求异面直线OD1与AE所成角的余弦值；(3)判断平面D1AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．解：(1)∵AB∥CE，AB＝CE＝2，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为BE的中点．∴＝－＝－(＋)＝－－.(2)设异面直线OD1与AE所成的角为θ，则cosθ＝
27、cos〈，〉
28、＝
29、
30、，∵·＝(－－)·＝·－·－
31、
32、2＝1××cos45°－×2××cos45°－×()2＝－1，
33、
34、＝＝，∴cosθ＝
35、
36、＝
37、
38、＝.故
39、异面直线OD1与AE所成角的余弦值为.(3)平面D1AE⊥平面ABCE.证明如下：取AE的中点M，则＝－＝－，∴·＝(－)·＝
40、
41、2－·＝×()2－1××cos45°＝0.∴⊥.∴D1M⊥AE.∵·＝(－)·＝·－·＝××2×cos45°－1×2×cos60°＝0，∴⊥，∴D1M⊥AB.又AE∩AB＝A，AE、AB⊂平面ABCE，∴D1M⊥平面ABCE.∵D1M⊂平面D1AE，∴平面D1AE⊥平面ABCE.
