关于积分上限函数的主要性质及其应用

《关于积分上限函数的主要性质及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、学士学位论文BACHELOR’STHESIS　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　编号学士学位论文关于积分上限函数的主要性质及其应用学生姓名：艾合买提·黑力力学号：20040101010系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2004-3班指导教师：木台力甫·努尔完成日期：2009年5月22日23学士学位论文BACHELOR’STHESIS中文摘要积分上限函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的初等性质及分析性质进行研究，深入讨论了特性，并用于解决一些微积分问题，并且得到了相应的比较

2、好的结论。本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数，求极限，证明单调性，连续性，证明不等式和恒等式，证明积分中值定理，定义有关函数等方面的一些应用。关键词：积分上限函数；性质；定积分；连续。23学士学位论文BACHELOR’STHESIS目　录中文摘要1引言11.积分上限函数的性质1定理1.11定理1.22定理1.33定理1.43定理1.55定理1.662.积分上限函数的应用62.1积分上限函数在求导数中的应用62.2积分上限函数在极限中的应用72.3积分上限函数在单调性的应用82.4积分上

3、限函数在函数关系中的应用92.5在讨论函数连续性方面的应用112.6证明方程根的应用112.7积分上限函数在证明等式题中的应用122.8积分上限函数在计算重积分中的应用132.9积分上限函数在证明不等式题中的应用142.10积分上限函数在求解函数方程的应用152.11积分上限函数在证明恒等式题中的应用162.12积分上限函数在证明中值定理中的应用17总结19参考文献20致谢2123学士学位论文BACHELOR’STHESIS23学士学位论文BACHELOR’STHESIS引言积分上限函数问题是教学和实

4、际生活中有特殊位置，一方面比较简单，另一方面它包括很多实际问题，有着非常广泛的应用。在积分学中，为证明原函数存在定理及牛顿—莱布尼兹公式，引进积分上限函数的概念。本文讨论此函数导数的存在性，周期性；并讨论了它在求导数，求极限，证明单调性及连续性，证明积分中值定理，证明不等式和恒等式，定义有关函数等方面的一些应用。在“数学分析”中，学过积分上限函数及其简单的性质。定义：设函数在区间可积，则对于每一个取定的，对应唯一个积分值，即称为函数的积分上限函数。积分上限函数有明显的几何意义：设有，则积分上限函数是区

5、间上的区边梯形的面积。如图（1）的阴影部分。1.积分上限函数的性质定理1.1如果函数在上是可积，则积分上限函数在区间连续。证明：23学士学位论文BACHELOR’STHESIS。又由已知条件，在上有界，即，有。，令，即，当时，有，即。在上连续。由在上的任意性，在上连续。定理1.2若函数在区间连续，则积分上限函数在有连续的导数，且，即积分上限函数是被积函数的一个原函数。证明：设，取，使则有已知函数在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点,使=取，（）23学士学位论文BACHELOR’STHESIS则

6、，或又由函数在的连续性，有即，。由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的联系。在区间上的连续函数存在原函数，而积分上限函数就是的一个原函数。定理1.3设函数在上可积，则积分上限函数为满足Lipschitz条件的函数。特别地，在上一致连续。证明：已知在上可积，由可积的必要条件，在上必有界，即，有，则得到对，有。在上满足Lipschitz条件。另一方面，由定理1.1，在连续在一致连续。定理1.4如果函数在区间上连续，（1）当上限是的可微函数时，有如下面求导公式2

7、3学士学位论文BACHELOR’STHESIS；（1）当上限与下限都是的可微函数时，则有如下求导公式：。证明：（1）取，使由已知函数是可微函数，故，又在连续，由积分中值定理则是可微，因此是连续，。（2）,取，使由已知，和都是可微函数。23学士学位论文BACHELOR’STHESIS又在连续，由积分中值定理同理得与可微，且，连续函数，。定理1.5周期为T的可积函数的积分，当时，是以T为周期的周期函数。证明：是周期为T的可积函数令则作变量代换：，23学士学位论文BACHELOR’STHESIS当时，函数成

8、立。即当时，函数时以T为周期的周期函数。定理1.6若是周期为T的连续函数，则是周期为T的函数，其中，为任意常数。证明：（1）又因为是周期为T的连续函数，所以有且。从而（2）把（2）代入（1）得故是T为周期的函数，该定理告诉我们当是具有周期为T的连续函数，则可以表示为一次函数与周期为T的函数之和。2.积分上限函数的应用2.1积分上限函数在求导数中的应用例1.求的值.23学士学位论文BACHELOR’STHESIS解：由定理1.4（1）。；例2.求由所确定的