变动上限的积分表示的函数及其应用

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1、变动上限的积分表示的函数及其应用设在连续，变动上限的积分，都是的原函数。其实是个常数。所以应用复合函数微分法：(1)若，则(2)若，则(3)若，则1.直接用公式求变动上限的积分表示的函数的导数例1：求导数（1）（2）（3）（4）（5）所以，2.变动上限的积分表示的函数在求极限中的应用有些极限问题中，包含着变动上限的积分表示的函数，常用罗比塔法则求极限。例2：求极限3.变动上限的积分表示的函数在求导数中的应用变动上限的积分表示的函数常出现参数方程表示的函数、二元函数的复合函数的求导数题目中。这就要求学生具有一定的综合运用知识的能力。例3：设函数y=y(x)由参数方程所确定，求本题为参数方程

2、求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可.注意当x=9时，可相应地确定参数t的取值.解:由，，得所以==当x=9时，由及t>1得t=2,故例4：设函数,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，证明:.解因为，，于是，，可见.4.变动上限的积分表示的函数在微分方程中的应用例5：设是连续函数且满足，求．解:两边求导在求导注意到(这一问题的初始条件经常是隐含的)这就完全转化成了二阶线性常系数微分方程的问题了.答案为:例6：设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角

3、形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式.分析:梯形OCMA的面积可直接用梯形面积公式计算得到，曲边三角形CBM的面积可用定积分计算，再由题设，可得一含有变限积分的等式，两边求导后可转化为一阶线性微分方程，然后用通解公式计算即可.解:根据题意，有.两边关于x求导，得当时，得此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为yA=M=OCBx=当x=0时，f(0)=1.由于x=1时，f(1)=0,故有2+C=0，从而C=-2.所以