1.2反比例函数的图象与性质

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1、反比例函数的图象与性质本课内容本节内容1.2我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图象，并且知道一次函数的图象是一条直线，那么怎样画反比例函数（k为常数，k≠0）的图象呢？它的图象的形状是怎样的呢？探究如何画反比例函数的图象？列表：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，因此，让x取一些负数值和一些正数值，并且计算出相应的函数值，列成下表：x…-6-5-4-3-2-1.5-111.523456……-1-1.2-1.5-2-3-4-664321.51.21…描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.如下图所示.观察左图，y轴右

2、边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小；当x＜0时，也有这一规律.我们可以证明：对于反比例函数，连线：根据以上分析，我们可以把y轴右边各点和左边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来.从看出，x取任意非零实数，都有y≠0，因此这两支曲线与x轴都不相交.由于x不能取0，因此这两支曲线与y轴也都不相交.这样就画出了的图象，如下图所示.做一做在下图所示的直角坐标系内，画出反比例函数的图象.（2）在每一象限内，函数值y随自变量x的变化如何变化？（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？观察画

3、出的，的图象，思考下列问题：议一议议一议议一议可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限.对于y轴右边的点，当自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小；对于y轴左边的点也有这一性质.一般地，当k>0时，反比例函数的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.结论1.画出下列反比例函数的图象：练习解探究的图象与的图象有什么关系？如何画反比例函数的图象？当x=3时，的函数值为-2，而的函数值为2．在平面直角坐标系内，点A（3，-2）与B（3，2）关于x轴对称，如下图所示:类似地，当

4、x取任一非零实数a时，的函数值为，而的函数值为，从而都有点P(a，)与点Q(a，)关于x轴对称，因此的图象与的图象关于x轴对称.于是只要把的图象沿着x轴翻折并将图象“复制”出来，就得到的图象，如下图中的红色曲线所示．从图中看出：的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.类似地，当k＜0时，反比例函数的图象与的图象关于x轴对称．从而当k＜0时，反比例函数的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.由于我们已经知道了当k＜0时

5、反比例函数的图象的性质，因此今后画反比例函数（k＜0）的图象时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了.举例例1画反比例函数的图象.列表：让x取一些非零实数，并计算出相应的函数值y，列成下表.x-6-5-4-3-2-11234561246-6-4-2-1描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点.连线：把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数的图象，如下图所示.●●●●●●●●●●结论综上所述，我们得到：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线.练习画出下列反

6、比例函数的图象：(1)(2)●●●●(1)解(2)●●●●●●动脑筋（1）求k的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？已知反比例函数的图象经过点P（2，4）.（1）求k的值，并写出该函数的表达式；解因为反比例函数的图象经过点P（2，4），即点P的坐标满足这一函数表达式，因而，解得k=8.因此，这个反比例函数的表达式为.（2）判断点A（-2，-4），B（3，5）是否在这个函数的图象上；解把点A，B的坐标分别代入，可知点A的坐标满足函

7、数表达式，点B的坐标不满足函数表达式，所以点A在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上.解因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？例2下图是反比例函数的图象.根据图象，回答下列问题：（1）k的取值范围是k＞0还是k＜0？说明理由；（2）如果点A（-3，），B（-2，）是该函数图象上的两点，试比较，的大小.（1）k的取值范围是k＞0还是k＜0？说明理由；解由图可知，反比例函数的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象

8、限内，函数