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1、习题11-81.将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式):(1);解因为f(x)=1-x2为偶函数,所以bn=0(n=1,2,×××),而,(n=1,2,×××),由于f(x)在(-¥,+¥)内连续,所以,xÎ(-¥,+¥).(2);解,(n=1,2,×××),(n=1,2,×××).而在(-¥,+¥)上f(x)的间断点为x=2k,,k=0,±1,±2,×××,故(x¹2k,,k=0,±1,±2,×××).(3).解,(n=1,2,×××),(n=1,2,×××),而在(-¥,+¥)上,f(x)的间断点为x=3(2k+1
2、),k=0,±1,±2,×××,故,(x¹3(2k+1),k=0,±1,±2,×××).2.将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数:(1);解正弦级数:对f(x)进行奇延拓,则函数的傅氏系数为a0=0(n=0,1,2,×××),(n=1,2,×××)故,xÎ[0,l].余弦级数:对f(x)进行偶延拓,则函数的傅氏系数为,(n=1,2,×××)bn=0(n=1,2,×××),故,xÎ[0,l].(2)f(x)=x2(0£x£2).解正弦级数:对f(x)进行奇延拓,则函数的傅氏系数为a0=0(n=0,1,2,×××),,故,xÎ[0,2).余弦级数:对
3、f(x)进行偶延拓,则函数的傅氏系数为(n=1,2,×××),bn=0(n=1,2,×××),故,xÎ[0,2].
