《常微分方程》题解

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1、P109--例1微分方程满足的特解为．解：解得，由则方程的特解为或P109--例2微分方程的通解为．解：为齐次方程令，而，比较两式得有为方程的通解P109--例3微分方程满足的解为．解：方程即为，通解为：由，所以15P110--例4微分方程的通解为．解：，通解为P110--例5设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，求与．解：因为是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，即有，由为的解，即得可得即为同理：由为的解，可得，则由P110--例6设函数具有一阶导数，且满足，求函数．解：设，则，

2、两边对求导，得，由已知又则P110--例7设，其中满足下列条件：，，且，．①求满足的一阶方程；②求的表达式．15解：(1)由,可见，所满足的一阶微分方程为．(2)．将代入上式，得.于是，．．P111--例1解方程．解：的特征方程为则方程的通解为P111--例2解方程．（数一，数二）解：的特征方程为则方程的通解为P112--例1写出下列方程的特解形式．①；解：的特征方程为由于不是特征根，故可设原方程的一个特解为②；解：的特征方程为由于是特征重根，故可设原方程的一个特解为15③；解：的特征方程为由于不是特征根，故可设原方程的一个特解

3、为④；解：的特征方程为由于是特征单根，故可设原方程的一个特解为⑤；解：的特征方程为由于是特征根，故可设原方程的一个特解为⑥．解：的特征方程为对，由于不是特征根，故可其一个特解为对，由于是特征根，故可其一个特解为则原方程的一个特解可设为P112--例2方程的通解为．解：的特征方程为，则齐次方程的通解为，由于是特征单根，故可设原方程的一个特解为，将代入原方程，解得，15则原方程的通解为P112--例3解方程解：，而①若，设特解为，代入方程解得，所以特解为：，则通解为②若，设特解为，代入方程解得，所以特解为：则通解为P113--例4①

4、验证函数满足方程；②利用①的结果求级数的和函数．①因为则②二阶常系数微分方程相应的齐次方程为,其特征方程为15特征根为因此齐次微分方程的通解为设非齐次方程的特解为,代入原方程得于是,原方程的通解为显然满足初始条件，代入得故幂级数的和函数P113--例1利用变量代换()化简微分方程，并求满足，的特解．解：，代入原方程得由，，解得则方程的满足，的特解为.15P113--例2设在内有二阶导数且，①试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程．②求变换后的微分方程满足初始条件，的解．解：，代入原方程得由，，解得则方程的满足初始条件，的特解为

5、P113--例3设函数具有二阶连续导数，而满足方程，求.解：由，设，代入到中得：，即有15P114--例1设其中为连续函数，求．解：原方程整理得，两边求导，再两边求导得，整理得（初始条件到原方程中找）解得P114--例1例1设，，都是非齐次线性方程的特解．，为任意常数，则函数(D)．(A)是方程的通解(B)不是通解(C)是特解(D)可能是也可能不是通解，但一定不是特解P114--例2设为某二阶常系数齐次线性方程的通解，则该方程为．解：是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，即有为所求二阶常系数齐次线性方程.P114--例3函

6、数满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是．解：是二阶常系数齐次线性方程的特征方程的特征根，即有为所求二阶常系数非齐次线性方程对应的齐次方程.设二阶常系数非奇次线性方程为，将代入上式，可得则函数满足的一个二阶常系数非奇次线性方程是15P114--例4已知为某二阶线性非齐次方程的三个特解，求其通解及该方程．解：均为对应的齐次方程的特解，所以为特征方程的两个根.则对应的齐次方程为设所求非齐次方程为，把代入方程可得：所以原方程为.其通解为P115--例1方程的通解为．解：令，原方程变为所以P115--例2方程，满足，的特解为_______

7、_．解：令，原方程变为，由所以由15则为方程，满足，的特解.P115--例3解方程．解：令，原方程变为通解为，即代入初始条件得，则为所求.P116--例1方程的通解为．（数学一）解：令，上方程化为通解为P117--例1设曲线位于平面的第一象限，上任一点处的切线与轴总相交，交点记为．已知，且过点．求的方程．解：设曲线上任一点，则点的切线方程为：，令，可得过点处的切线与轴的交点为：，因为，即有15即为齐次方程，，对（*），令即有，解得由于过点，则，则P117--例2设是第一象限内连接点的一段连续曲线，为该曲线上任意一点，为在轴上的投

8、影．若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为，求的表达式．解：由题设有：为积分方程，且，两边对求导得，整理得：为一阶线性非齐次方程，解得由于，则15P118--例3设曲线，其中是可导函数，且．已知曲线与直线，及（）所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边