北京邮电大学数学建模课程讲义

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1、前言   数学模型与数学实验课在我国大多数高等院校中普遍开设，它是当前我国高等教育基础课程教学改革的前沿课程之一。这一课程的成功开设，为学生正确理解数学教育的重要性以及数学学科与其它诸多专业课之间的内在联系有着非常重要的作用——它是学生在学期间弥合基础理论与各应用学科之间鸿沟的一座桥梁，同时，作为数学教育的一门重要的辅助课程，这门课程的开设也为整合大学数学教学过程中不同数学课程所可能留给初学者的各自孤立甚至极为琐碎的印象成为可能。因此，如果在教学中处理得当，对这门课程在本科生教育中的重要意义作什么样的肯定性估价均不会过分。    

2、 北京邮电大学较早地将数学模型课作为全校公共选修课在本科生中开设，迄今已逾十载。期间，有多位老师对本课程的教学以及课程建设做出了大量而又细致的工作，更兼期间校院领导对本课程教学的重视，应当说这门课程在我校的教学实践是相当成功的——愈来愈多的学生注册选修本课程和参加有关的数学建模竞赛活动。特别，我校学生在最近几年参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛中连续取得了非常出色的成绩。    本课件的开发可以被看作是对我校最近几年在数学模型课课程教学以及数学建模活动的开展过程中所积累下来的资料所进行的一次较为全面的整理，其内容包

3、括：1）贺祖国老师数学模型课教学以及组织培训参加数学建模竞赛队员过程中所编写的讲义、有关数学建模教学的交流文稿或科研论文等；2）1997年以来，我校学生参加全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛时所完成的参赛论文，甚至包括一些队员在学习期间完成的与数学建模有关的科研论文（这些论文有的在一些比较有影响的学术征文中获奖）；3）其它像数学建模竞赛题目、部分赛题的优秀参赛论文等学习资料。   本课件凝结了许多人的劳动和才智，其中王晓霞副教授（北方交通大学）在课程讲义的组织整理过程中做了大量的工作，孙洪祥、罗守山两位教授为课件的内容

4、组成以及框架构思提供了许多宝贵的建议。当然，应当特别题及的是在我们身边的许多参加数学建模学习和竞赛活动的同学，没有他们的劳动这项工作将黯然失色——这里资料的原创权有相当大部分是归他们的；网页是由董乘宇、袁楠、刘冰等几位同学合力设计完成的。   我们的全部工作几乎均起步于零，因此也决定了课件的许多功能和表现是有缺陷的，任何建设性的批评和建议我们都会诚恳地听取，我们会对之进行不断的完善！   如果有一件实实在在的可以添饱肚子的“窝窝头”和一件飘溢着香味儿的虚拟“汉堡包”要我们选择，我看重前者——这事实上是在开发这一课件的整个过程中我和

5、我的伙伴、学生所一直坚持的，因此尽管我为这一作品所存在的许多欠尽人意的地方尤存不安，但对那些具有旺盛求知欲望的年轻人来讲，仍然愿意承诺我们的作品不是虚拟的“汉堡包”，我希望你们爱我的课程！贺祖国(于2003年夏)第一章课程概述§1.1数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产

6、实践、社会管理的各个领域和层面。对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就

7、可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。将椅子的四只脚逆时针方向依次编号A、B、C、D，选定某初始位置，如图，规定CA所在直线为轴，CA中点为原点。且设：4．挪动椅子时，保持四脚椅中心与正对，

8、可以用CA与轴正向夹角来表示椅子位置；以、分别表示(A,C)、(B,D)两组点离开地面的竖直距离。二．模型建立与求解：1），且在上连续；2）；3）由于四脚椅中心对称，所以、；易知椅子放稳的条件为，因此可将椅子的平稳放置问题归结为，是否存在，满足。进