2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

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1、2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷时间120分钟，满分120分学校班别姓名座号（2014年5月18日上午：8：00——10：00）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.(请把答填于第2页答题区）1.已知为锐角，且有，，则的值是__________.2.函数的最大值是_________.3.函数的图象与函数的图象围成的面积大小为_______(平方单位).4.从前个正整数构成的集中取出一个元子集，使得中任两数之和不能被这两数之差整除，则的最大值为_______.5.三棱锥中，顶点在平面的射影为，满足，点在侧面上的射影是的垂心，，则此三棱锥体积的最大值为________

2、.6.用红黄蓝三种颜色给如右图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有________种(用数字作答).7.如右图，和分别是双曲的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为________.8.已知对每一个实数和函数满足.若，则满足的正整数对共有_________个.8总分一、填空题答题区（每小题8分，满分64分）1.2.3.4.5.6.7.8.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）已知方程的两个不等实根、满足.求的值.810.（本小题满分20分）如图，已知

3、分别是的边的中点，的内切圆分别与边切于点.求证：的交点在的角平分线上.811.（本小题满分20分）在数列中，．（1）求数列的通项；（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；（3）设数列，的前项和为，求证：．2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1..解：由，，得.又为锐角，故.2..解：函数的定义域为，且.根据柯西不等式有：，上式当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值.3..解：由于函数与函数都是偶函数，故有.4.672.8解：首先，我们可以取672元集，,中任两数之和不能被整除，而其差是的倍数；其次，将中的数自

4、小到大按每三数一段，共分为672段：2012,20132014.现从中任673个数，必有两数取自同一段，则或，注意与同奇偶，于是．因此的最大值为672.5.36.解：由题可证明△ABC为正三角形，设其边长为，则.利用导数当时体积取最大值36.6.30.解：从左到右将六个圆编号为1,2,3,4,5,6，满足条件的只有、、、、等组合，因此按要求用三种颜色给如图所示的六连圆涂色，应有.7..解：连AF1，则△AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知：.∵，得.∵e﹥1，∴取.8.8.解：令y=1,得8=，而，设，又为奇数，所以为一奇一偶.当为偶数时，取得奇数的个数

5、为个（的约数），即有4个解；同理，为奇数时，也有4个解，故共有8个.二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）解：由韦达定理得，.于是，有=…………6分====.………………………………………………11分由已知，得.而，所以.因此，.……………………………………………16分10.（本小题满分20分）证明：假设，否则结论显然成立（此时E、K重合）.设与的角平分线交于点，，，于是，又因为在以为直径的圆上，故.……5分设与的角平分线交于点，则的内心在点之间.又因为，则有，且.…………10分8如果在线段的内部，有，所以四点共圆.如果在的同侧，有，也有四点共圆.……………………

6、…………………………………………………………15分因为，所以，.由于，则重合，即和的角平分线交于一点.………………………………………………………20分11.（本小题满分20分）解：（1）将整理得：，所以，即，当时，上式也成立，所以，.………………………………………………5分（2）若恒成立，即恒成立，整理得：.令,则.因为，所以上式，即为单调递增数列，所以最小，，8所以的取值范围为.…………………………10分（3）由，得，……15分所以.…………………………20分8