高考数学专题复习讲练测——专题二_函数与方程_专题复习讲练_2_函数的图象和性质

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1、§2函数的图象和性质　　　　当a=0时，由①得b=1／2Z，舍去；　　当a=1时，b=1．　故f（x）=（x２＋1）／x.　　（2）利用单调函数的定义证明，略．　　（3）先确定函数的性质，再作图．　易知，函数f（x）=x+（1／x）的定义域为{x

2、x∈R，且x≠0}，且是奇函数．又

3、f（x）

4、=

5、x+（1／x）

6、=

7、x

8、+（1／x）≥2，　　∴函数f（x）的值域是　　{y

9、y≤-2或y≥2}.　　由（2）知，f（x）在（0，1）上是减函数．同理可证，f（x）在［1，＋∞）上是增函数，再结合奇偶性，作出

10、函数y=f（x）的图象如图2－2所示．图2－2　　例2　设f（x）是定义在区间［－1，1］上的偶函数，g（x）与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈［2，3］时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）３（a为实常数）．　（1）求函数f（x）的表达式；　　（2）是否存在a∈（2，6］或a∈（6，＋∞），使f（x）图象的最高点在直线y=12上？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．　　讲解：（1）由于函数f（x）与g（x）的图象关于直线x=1对称，且函数g（x）的解析式为已知，所以可将函数f（x）用g（x）来

11、表示，再根据f（x）为偶函数来确定其解析式．　　设（x，f（x））是f（x）图象上任意一点，则点（x，f（x））关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上．　　∴f（x）=g（2-x）.　　当x∈［－1，0］时，2-x∈［2，3］，则f（x）=g（2-x）=-2ax+4x３．　　又f（x）为偶函数，　　∴当x∈［0，1］时，f（x）=f（-x）=2ax-4x３．　　综上，得f（x）=-2ax+4x３　（x∈［－1，0］），2ax-4x３（x∈［0，1］）．　　（2）∵f（x）是偶函数，∴只需求f

12、（x）在［0，1］上的最大值即可．　　当a∈（2，6］时，由0≤x≤1知，a-2x２＞0.∴f（x）=2x（a-2x２）＝＝　　（2a）／9.　　当且仅当4x２=a-2x２，即x=∈［0，1］时，等号成立．　　∴f（x）的最大值为（2a）／9.　　令（2a）／9=12，得a３＝486＞6３，即a＞6．　　可见a（2，6］，此时a不存在．　　当a∈（6，＋∞）时，设0≤x１＜x２≤1，则　　f（x１）-f（x２）=…=（x１-x２）［2a-4（x１２＋x１x２+x２２）］．　　∵0＜x１２+x１x２+x２２＜3，a＞

13、6，　　∴2a-4（x１２＋x１x２+x２２）＞0．　　又x１＜x２，∴f（x１）-f（x２）＜0．　　即f（x）在［0，1］上是增函数，从而f（x）的最大值为f（1）=2a-4.　　令2a-4=12，得a=8∈（6，＋∞），符合题意．例3在Ｒ上的递减函数ｆ（ｘ）满足：当且仅当ｘ∈ＭＲ＋时，函数值ｆ（ｘ）的集合为［0，2］，且ｆ（1／2）＝1；又对M中的任意ｘ１，ｘ２都有ｆ（ｘ１ｘ２）＝ｆ（ｘ１）＋ｆ（ｘ２）．（1）求证：（1／4）∈Ｍ，而（1／8）∈Ｍ；（2）证明：ｆ（ｘ）在M上的反函数ｆ－1（ｘ）

14、满足关系ｆ－1（ｘ１）·ｆ－1（ｘ２）＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２）；（3）解不等式ｆ－1（ｘ２＋ｘ）·ｆ－1（ｘ＋2）≤（1／4）（0≤ｘ≤2）．讲解：紧扣题意中的信息，不断进行解题语言的转换．（1）∵　1／2∈Ｍ，又1／4＝1／2×（1／2），ｆ（1／2）＝1，∴　ｆ（1／4）＝ｆ（（1／2）×（1／2）＝ｆ（1／2）＋ｆ（1／2）＝2∈［0，2］，∴　1／4∈Ｍ．∵　ｆ（1／8）＝ｆ（（1／2）×（1／4））＝ｆ（1／2）＋ｆ（1／4）＝3［0，2］，∴　（1／8）Ｍ．（2）∵　ｆ

15、（ｘ）在M上是递减函数，∴　ｆ（ｘ）在M上有反函数ｆ－1（ｘ），且ｘ∈［0，2］．任取ｘ１，ｘ２∈［0，2］，设ｙ１＝ｆ－1（ｘ１），ｙ２＝ｆ－1（ｘ２），则ｘ１＝ｆ（ｙ１），ｘ２＝ｆ（ｙ２）．其中ｙ１，ｙ２∈Ｍ．∵　ｘ１＋ｘ２＝ｆ（ｙ１）＋ｆ（ｙ２）＝ｆ（ｙ１ｙ２），∴　ｙ１ｙ２＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２），故ｆ－1（ｘ１）ｆ－1（ｙ１）＝ｆ－1（ｘ１＋ｘ２）．（3）利用ｆ（ｘ）的递减转化求解不等式．∵　ｆ（ｘ）在M上递减，∴　ｆ－1（ｘ）在［0，2］上也是递减的．于是ｆ－1（ｘ

16、２＋ｘ）·ｆ－1（ｘ＋2）≤（1／4）ｆ－1［（ｘ２＋ｘ）＋（ｘ＋2）］≤ｆ－1（2）ｆ－1（ｘ２＋2ｘ＋2）≤ｆ－1（2）0≤ｘ２＋ｘ≤2，ｘ＝0．0≤ｘ＋2≤2，ｘ２＋2ｘ＋2≥2故原不等式的解集为｛0｝．　　三、专题训练　　1．设f（x）是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，对于任意的x∈R，有f（x+1）=（1-f（x））／（1+f（x））.当0＜x