高考数学专题复习讲练测——专题六 复数 专题复习讲练 1 复数的性质

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1、§1　复数的性质　　一、复习要点 　1．复数的有关概念和性质：　　（1）两个复数相等的充要条件；　　（2）复数是实数或纯虚数的充要条件；　　（3）互为共轭的两个复数的性质；　　（4）复数的辐角和模的性质．　　2．复数运算中的几个常用结论：　　（1）（1±ｉ）２＝±2ｉ，（1＋ｉ）／（1－ｉ）＝ｉ，（1－ｉ）／（1＋ｉ）＝－ｉ；　　（2）ｉｎ＋ｉｎ＋１＋ｉｎ＋２＋ｉｎ＋3＝0（ｎ∈Ｚ）；　　（3）设ω＝－（1／2）±（／2）ｉ，则ω3ｎ＝1；（1／ω）＝；ωｎ＋ωｎ＋１＋ωｎ＋２＝0（ｎ∈Ｚ）．　　3．复习中应

2、把握好的几个要点：　　（1）复数的性质较多，在复习中，应尽量启发学生自己思考．要引导学生适时、恰当、准确地运用性质解题，培养自觉应用性质解题的习惯，以达到解题突破口的合理选择．　　（2）应注意解题后的反思．反思解题时用到复数的何种性质，采用的是什么数学思想方法，寻求不同的解法，并且比较各种解法的优劣，进一步优化解题过程，提高学生的解题速度和解题能力．　　二、例题讲解　　例1（1）已知ａ，ｂ∈Ｒ，且ｂ＜0，ｚ１＝ａ＋ｂｉ，ｚ２＝ｂ－ａｉ，ａｒｇｚ１＝θ，则ａｒｇｚ２等于（　　）．　　Ａ．π－θＢ．（π／2）＋

3、θ　　Ｃ．θ－（π／2）Ｄ．（3π／2）－θ　　（2）复数（2＋2ｉ）４／（1－ｉ）５等于（　　）．　　Ａ．1＋ｉ　Ｂ．－1＋ｉ　　Ｃ．1－ｉＤ．－1－ｉ　　讲解：（1）显然ｚ１与ｚ２有联系，欲把ａｒｇｚ２用ａｒｇｚ１表示，当找出ｚ２与ｚ１的运算联系．仔细分析，得ｚ２＝－ｉｚ１．∴ａｒｇｚ２＝θ－（π／2），选Ｃ．　　（2）本题结合了复数的乘方运算和除法运算，由于2＋2ｉ与1－ｉ的辐角均为特殊角，一个自然的思路是：先利用复数的三角式求得（2＋2ｉ）４＝－2６，（1－ｉ）５＝2４（1＋ｉ），∴　原式＝

4、－[4／（1＋ｉ）]＝－1＋ｉ，选Ｂ．　　若认真思考一下选项，发现4个选项所给复数的对应点分别位于4个不同象限，则想到：只需算辐角，便能把正确选项分离出来．　　∵　2＋2ｉ的一个辐角是θ１＝π／4，1－ｉ的一个辐角是θ２＝－（π／3），∴所求复数的一个辐角为θ＝4θ１－5θ２＝π＋（5π／3）＝2π＋（2π／3），位于第二象限．故排除Ａ、Ｃ、Ｄ，选Ｂ．　　例2设复数ｚ＝－＋ｉ，记ｕ＝（4／ｚ）３．（1）求复数ｕ的三角形式；　（2）如果（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，求实数ａ、ｂ的值．　　讲解：这道题的两

5、问是有联系的．第（1）问最容易想到将ｚ＝－＋ｉ代入ｕ＝（4／ｚ）３后，先得到ｕ的代数式，再化成三角形式，但是要将（4／ｚ）３化成标准的代数形式是相当麻烦的，也易出错．事实上，要求ｕ的三角形式，只要求得｜ｕ｜及ａｒｇｕ即可．注意到复数有关性质就不难得解．第（2）问是先将ｕ和ｚ代入化简后，得到带有ａ、ｂ的复数代数恒等式，由复数相等的充要条件得关于ａ、ｂ的方程组，再解方程组即可．　　（1）∵　｜ｚ｜＝＝2，　　∴　｜ｕ｜＝｜（4／ｚ）３｜＝（4／｜ｚ｜）３＝2．令ａｒｇｚ＝θ，则ｃｏｓθ＝－（／2）＝－（／2

6、），ｓｉｎθ＝1／2，∴　θ＝（5π／6），从而ａｒｇｕ＝－（5π／6）×3＋4π＝3π／2．　　∴　ｕ的三角形式为　ｕ＝2（ｃｏｓ（3π／2）＋ｉｓｉｎ（3π／2））．（2）由（1）知，ｕ＝－2ｉ，代入（ａ／ｚ）＋（ｂ／ｕ）＝ｚ＋2ｕ，得　　－（／8）ａ－（（／8）ａ－（／4）ｂ）ｉ＝－－3ｉ．　　由复数相等的充要条件，得方程组（／8）ａ＝，（／8）ａ－（／4）ｂ＝3．　　解得　ａ＝8，ｂ＝－8．　　例3　已知复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，且｜ｚ１－ｚ２｜＝．　　（1）求｜ｚ１＋ｚ２｜的值

7、；　　（2）求证（ｚ１／ｚ２）２＜0；　　（3）求证对于任意实数a，恒有｜ｚ１－ａｚ２｜＝｜ｚ１＋ａｚ２｜．　　讲解：（1）题除用代数式和三角式求解外，若注意到复数的性质ｚ·＝｜ｚ｜２，则由｜ｚ１｜＝｜ｚ２｜＝1，得ｚ１１＝ｚ２２＝1，这时只要将｜ｚ１－ｚ２｜与｜ｚ１＋ｚ２｜分别改写成与即可．　　由ｚ１１＝ｚ２２＝1及（ｚ１－ｚ２）＝2，得　　ｚ１２＋ｚ２１＝0．　　∴　（ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋２）＝｜ｚ１｜２＋｜ｚ２｜２＋ｚ１２＋ｚ２１＝2，　　故　｜ｚ１＋ｚ２｜＝．　　此题也可利用复数加减法的几何意义求解

8、．（留给读者自己去完成）　　（2）若（ｚ１／ｚ２）＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则（ｚ１／ｚ２）２＝ａ２－ｂ２＋2ａｂｉ，要证（ｚ１／ｚ２）２＜0，即证ａ２－ｂ２+2ａｂｉ∈Ｒ－，∴　ａｂ＝0，但ｚ１≠0，∴　（ｚ１／ｚ２）≠0，∴　只能是ａ＝0．∴　要证原命题，只要证（ｚ１／ｚ２）是纯虚数即可．因此，首先要在已知等式｜ｚ１－ｚ２｜＝中变出（ｚ１／ｚ２）．　　∵　｜ｚ１－ｚ