高考数学专题复习讲练测——专题二 函数与方程 专题复习讲练 1 集合与集合思想的应用.doc

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1、§1集合与集合思想的应用　　一、复习要点　在系统复习的基础上，本轮复习主要解决好如下三个问题：　　1．重要知识点的再现：（1）集合中元素的三个性质；（2）集合的三种运算；（3）用集合语言表示有关数学概念，用集合工具表示有关数量关系．　　2．集合综合题的解法：（1）集合与不等式的综合；（2）集合与三角的综合；（3）集合与解析几何的综合．　　3．集合思想的应用：（1）用集合方法判断命题的充要关系；（2）用集合观点解决比较复杂的排列组合问题；（3）补集思想的运用．　二、例题讲解　　例1　已知集合M＝｛x

2、x=cos（nπ）／3

3、，n∈Ｚ｝，Ｐ＝｛x

4、x=sin[（2m-3）π]／6，m∈Ｚ｝，则M与P满足（）.Ａ．ＭＰＢ．Ｍ＝ＰＣ．ＭＰＤ．Ｍ∩Ｐ＝Φ讲解：可从理解集合M、P的意义入手．　　若视n、m为自变量，则M、P分别表示函数x=cos（nπ）／3、x=sin［（2m-3）π］／6的值域，问题转化为判断这两个函数值域的关系．　　由于这两个函数的定义域均为整数集Z，所以它们的值域并不一定等于［-1，1］.如何求这两个函数的值域呢?如果分别取整数n、m的一些值，用列举法写出集合M、P，然后观察作出判断，这种解法虽然直观，但由于不能

5、写出集合M、P的所有元素，可能会产生判断失误．我们知道，函数在它的一个周期内的函数值的集合就是该函数的值域，因此本题有如下解法：　　∵函数x=cos（nπ）／3、x=sin［（2m-3）π］／6的最小正周期均为6，　　∴分别取n，m=0，1，2，3，4，5，得　　　　M＝｛1，（1／2），－（1／2），－1｝，　　　　Ｐ＝｛－1，－（1／2），（1／2），1｝．　　∴M＝Ｐ，选B．　　例2　设ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｐｘ＋ｑ，Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ（ｘ）｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ｝．　　（1）求证ＡＢ；　　（2）如果Ａ＝｛－1，3｝，

6、求B．　　讲解：本例是涉及集合、函数和方程的综合题．依据子集的概念，要证ＡＢ，只要证对任意ｘ０∈Ａ，均有ｘ０∈Ｂ成立．由A＝｛－1，3｝知，方程ｘ＝ｆ（ｘ）有二实根－1和3，从而应用韦达定理可求出ｐ、ｑ的值，也就确定出ｆ（ｘ）的解析式，再解方程ｘ＝ｆ［ｆ（ｘ）］，就可求出B中的所有元素．　　（1）设ｘ０是集合A中的任一元素，即有ｘ０∈Ａ．　　∵　Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝ｆ（ｘ）｝，　　∴　ｘ０＝ｆ（ｘ０），即有　ｆ［ｆ（ｘ０）］＝ｆ（ｘ０）＝ｘ０，　　∴　ｘ０∈Ｂ，　　故ＡＢ．　　（2）∵　Ａ＝｛－1，3｝＝｛ｘ｜ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝ｘ｝，　

7、　∴　方程ｘ２＋（ｐ－1）ｘ＋ｑ＝0有两根－1和3，应用韦达定理，得－1＋3＝－（ｐ－1），ｐ＝－1，（－1）×3＝ｑｑ＝－3，　　∴　ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ－3．　　于是集合B的元素是方程ｆ［ｆ（ｘ）］＝ｘ，也即　　（ｘ２－ｘ－3）２－（ｘ２－ｘ－3）－3＝ｘ（）的根．　　将方程（）变形，得　　（ｘ２－ｘ－3）２－ｘ２＝0，即（ｘ２－2ｘ－3）（ｘ２－3）＝0，解得ｘ＝－1，3，，－．　　故Ｂ＝｛－，－1，，3｝．　　例3　5个人站成一列，其中甲不站在排头，乙不站在排尾，共有多少种不同的排法?　　讲解：将5个人的

8、全排列记为全集I，而I中的元素个数记为n（I），则n（I）=P５５．　　同样，将甲站在排头的排列记为A，将乙站在排尾的排列记为B，则n（A）=n（B）=P４４．　　由图2－1有　n（A∪B）＝n（A）+n（B）-n（A∩B）.图2－1　　故甲不站在排头、乙不站在排尾的排法种数为n（）＝n（I）-n（A∪B）＝n（I）－n（A）-n（B）+n（A∩B）＝P５５－2P４４＋P３３＝78（种）．　　三、专题训练　　1．已知集合Ｅ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２／16＋ｙ２／9＝1｝，Ｆ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ２＋ｙ２＝1｝，则集合E与F的关系是（　　）

9、．　　Ａ．ＥＦＢ．ＦＥ　　Ｃ．Ｅ∩Ｆ＝ΦＤ．Ｅ∪Ｆ＝Ｆ　　2．定义A－Ｂ＝｛x

10、x∈Ａ，且xB｝．若M＝｛1，2，3，4，5｝，Ｎ＝｛2，3，6｝，则N－Ｍ等于（　　）．　　Ａ．MＢ．N　　Ｃ．｛6｝Ｄ．｛1，4，5｝　　3．设Ｐ＝｛ｘ｜（ｘ２－4）／（ｘ－5）≤0｝，Ｑ＝｛ｘ｜｜ｘ－1｜＜ａ｝．若Ｐ∪Ｑ＝｛ｘ｜ｘ＜5｝，则实数ａ的取值范围是（　　）．　　Ａ．［1，4］Ｂ．［1，4）　　Ｃ．［3，4］Ｄ．［3，4）　　4．已知集合P＝｛（x，y）

11、x２＋y２＝1｝，Ｑ＝｛（x，y）

12、x／a＋y／b＝1

13、，a，b∈Ｒ＋｝．若P∩Q≠Φ，则a，b应满足（　　）．　　Ａ．a≤1，b≤1B．a≤，b≤　　Ｃ．ab≥D．ab≤　　5．若集合A＝｛2，4，x３－2x２－x+7｝，B={-4，y+3，y２－2y+2，y３＋y２＋3y＋7｝，且A∩B={2，5}，则