简单的线性规划简单题型讲解樯芎(1)

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1、用图解法解决简单的线性规划问题准确求得线性规划问题的最优解1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。2、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条

2、件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才

3、能使得收视观众最多？应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答．分析：将已知数据列成下表播放片甲播放片乙节目要求片集时间（min）3.51≤16广告时间（min）0.51≥3.5收视观众（万）6020解：设电视台每周应播映片甲x次，片乙y次，总收视观众为z万人．列约束条件时，要注意讲清xN.yN，这是学生容易忽略的问题．列出了约束条件和目标函数后，应用问题转化为线性规划问题，用图解法求解．先请学生回忆图解法求线性规划问题的一般步骤，然后

4、教师用多媒体课件展示画图、平移过程：①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l平移，平移过程中可以显示z值的大小变化．由图解法可得：当x=3，y=2时，zmax=220．答：电视台每周应播映甲种片集3次，乙种片集2次才能使得收视观众最多．例题小结：简单线性规划应用问题的求解步骤：（教师示意学生观看板书，并给予适当的提示）1．将已知数据列成表格的形式，设出变量x，y和z;2．找出约束条件和目标函数;3．作出可行域，并结合图象求出最优解;4．按题意作答．简单的线性规划典型例题例1　画出不等式组表示的平面区域．分析：采用

5、“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．解：把，代入中得∴不等式表示直线下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．例2画出表示的区域，并求所有的正整数解．分析：原不等式等价于而求正整数解则意味着，有限制条件，即求．解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知表示的区域如下图：对于的正整数解，先画出不等式组．所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为、、、、．说明：这

6、类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来．例3求不等式组所表示的平面区域的面积．分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式可化为或；不等式可化为或．在平面直角坐标系内作出四条射线，，则不等式组所表示的平面区域如图由于与、与互相垂直，所以平面区域是一个矩形．根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和．

7、所以其面积为．例4　若、满足条件求的最大值和最小值．分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点时，取得最大值，当过点时，取得最小值．∴　∴　说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．例5用不等式表示以，，为顶点的三角形内部的平面区域．分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线的斜率为：，其方程为．

8、可求得直线的方程为．直线的方程为．的内部在不等式所表示平面区域内，同时在不等式所表示的平面区域内，同时又在不等式所表示的平面区域内（如图）．所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组表示．说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线．例6已知，．求的最大、最小值．分析：令，目标