分式方程的解法及应用提高导学案 习题含答案

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1、分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2.会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将

2、分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增

3、根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同

4、，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程【高清课堂分式方程的解法及应用例1】1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？（1）（2）（3）（4）【答

5、案与解析】解：（1）虽然方程里含有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；（3）没有等号，所以不是方程，它是一个代数式；（4）方程具备分式方程的三个特征，是分式方程．特别提醒：（3）题是一个代数式，不是方程，容易判断错误；【总结升华】整式方程与分式方程的区别在于分母里有没有未知数，有未知数的就是分式方程，没有未知数的就是整式方程．类型二、解复杂分式方程的技巧2、解方程：．【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得，∴，∴，∴，或，由，解得，由，解得．经检验：，是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，

6、方程两边同乘，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程．【答案】解：移项得，两边同时通分得，即，因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以，，，，∴．检验：当时，．∴是原方程的根．类型三、分式方程的增根【高清课堂分式方程的解法及应用例3】3、（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把代入解出

7、的值.【答案与解析】解：（1）方程两边同乘，得．∴．∴．由题意知增根为或，∴或．∴或．（2）方程两边同乘，得．∴．∴．∵增根为，∴．∴．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】已知关于的方程无解，求的值．【答案】解：方程两边同乘约去分母，得，即．①∵，即时原方程无解，∴，∴．②∵当时，整式方程无解，∴当时，原方程无解．综上所述，当或时，原方程无解．类型

8、四、分式方程的应用【高清课堂分式方程的解法及应用例3】4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲