垂直于弦的直径(一)

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1、垂直于弦的直径（一）一、教材分析和教材处理：1、“垂直于弦的直径”是初中几何第七章“圆的有关性质”中的第三节，其主要内容是垂径定理及垂径定理的几个推论。这一内容安排三课时授完，本节课是第一课时，主要讲垂径定理的引入和证明及其简单应用；第二课时主要讲垂径定理的几个推论；第三课时主要讲垂径定理及其推论的实际应用。2、垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。因此垂径定理是本节课的教学重点，也是全章的重点，教学大纲中也明确规定要使学生掌握垂径定理。垂径定理的证明是利用是利用翻转叠合的方法进行的。学生对这

2、种证明很不适应。所以，它是本节课的难点。由于垂径定理的题设和结论比较复杂，因此在教学中要着力让学生分清该定理的题设和条件，此外，垂径定理与勾股定理结合运用常常能解决有关圆的计算问题，在圆中解决有关弦的问题也往往要做出圆心到弦的垂线段（弦心距）作为辅助线，然后用垂径定理来证题。这些思想方法和基本图形在今后的学习中经常遇到，因此要通过本节课的例题教学，让学生熟练地掌握。二、教学目的要求：根据以上分析确定本节课的教学目的要求：（1）使学生理解圆的轴对称性。（2）使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。（3）通过垂径定理的证明渗透几何变换的思想。三、教学方法和手段

3、：问题情境法多媒体课件运用（几何画板与PowerPoint演示文稿）四、教具使用：圆形纸片、多媒体电脑、投影机五、教学过程：1、新旧知识的联系：观察圆形纸片，说出和圆有关的一些概念。2、定理的提出过程：①师生动手实验，通过实验观察，引导学生归纳出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。②在理解圆的轴对称的基础上，创设问题情境：A、B是⊙0点上任意两点，怎样通过画图找出AB的中点(不通过度量)？学生凭已有的知识和经验动手画图；大胆尝试，可能出现多种画法，教师把其中的两种画法投影出示，并给以适当的肯定，让学生体会到成功的喜悦。③教师针对第二种画法提出疑问：你这样画出

4、的点C（强调画法中CD是⊙0中的直径，CD⊥AB于点E）是AB的中点吗？为什么？由此引导学生探本求源，思维指向垂径定理。④通过课件直径演示验证第二种画法是正确的，即AE＝BE。并引导学生进一步观察AC与BC、AD与BD关系怎样？学生观察到AC与BC、AD与BD也重合，即AC＝BC、AD＝BD。⑤教师又问由此可以得出什么结论呢？从而引导学生抽象概括出垂径定理。3、垂径定理证明思路的探索：垂径定理的证明使用了翻转叠合的证明方法，这一方法很少使用，学生很想难到。教学中作如下安排：(课件演示)①找准突破口。由于要证明的结论中，包含有线段相等和弧相等的问题，证线段相等的问题，方法较多

5、，很难把学生的思路引到用折叠的方法上来，而要证明弧相等，目前只有用等弧的定义作为依据。因此，以证明弧相等为突破口容易把学生的思路引到这一方法上来。②分散难点。教学设计中，把要证弧相等的问题分解成若干个学生容易解决的问题，启发学生从未知看需知，逐渐靠拢教材，寻找解题途径，达到突破难点的目的。③实物沟通。用直观教具帮助学生沟通理解难点。④指导学生看书理解定理证明书写过程。这一教学环节的设计，注重了证题思路的探索过程、主题方法和规律的概括过程，学生的思维活动得以展开，能力得到培养。4、引导学生分清定理的条件和结论：由于垂径定理的题设和结论比较复杂（多条件、多结论），学生很难把握，

6、因此学生对于所学的定理有了初步了解后，教师接下来要着力让学生分清命题的条件和结论。尤其是要搞清定理题设中的两个条件，针对这一问题，我采用以下办法进行。①结合图形引导学生讨论并回答定理中的题设和结论分别是什么？在此基础上提出运用格式。②运用正反例的变式题组，深化对定理的理解，强化定理中的两个条件，一是过圆心（直径或直径的一部分）；二是和弦垂直。5、应用定理解决问题，培养能力：①例1的教学安排是教师讲解例题后，应引导学生把垂径定理和勾股定理结合起来，得到圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a之间的关系式r2=d2＋（a/2）2。根据此公式在a、r、d三个量中，知道任何两个量就可以

7、求出第三个量。并争取通过讲练结合方法，让学生从中领会，自己发现，并归纳出这个公式，在训练基本技能的同时发展例题具有的本质特征功能。②例题2和例题1有着密切的联系（添加辅助线：从圆心作一条与弦垂直的线段为辅助线，然后用垂径定理来解题），只是出题形式上的差异，因此在例题2的设计上，可以略讲，但要证明AC=BD，学生可能出现多种方法，教师在肯定这些做法的同时引导学生对多种证明方法加以比较，从中选择最佳途径，突出运用垂径定理证题的优势。6、课学练习与巩固：P78页第1题（强调辅助线的添加）P84页第12题（可适当提示：还需