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1、第3课时 空间向量基本定理 教学过程一、问题情境1.在教材第83页例2中,若F是D'B'的三等分点或四等分点,则能否用i,j,k表示?若F是D'B'上的任意一点,则能否用i,j,k表示?2.空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?如何表示?二、数学建构由上例归纳,可得到一般性结论:1.空间向量基本定理如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3.证明 (存在性)如图,设e1,e2,e3不共面,过点O作=e1,=e2,=e3,=p.(图1)过点P作直线P
2、P'∥OC,交平面OAB于点P';在平面OAB内,过点P'作直线P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线OA,OB相交于点A',B'.于是,存在三个实数x,y,z,使=x=xe1,=y=ye2,=z=ze3,所以=++=x+y+z,所以p=xe1+ye2+ze3.(唯一性)假设还存在x',y',z'且x'≠x,使p=x'e1+y'e2+z'e3,即xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,所以(x-x')e1+(y-y')e2+(z-z')e3=0.因为x≠x',所以e1=·e2+·e3,所以e1,e2,e3共面,此与已
3、知矛盾.所以有序实数组(x,y,z)是唯一的.推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x+y+z.2.基底如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由e1,e2,e3线性表示,我们把{e1,e2,e3}称为空间的一个基底,向量e1,e2,e3叫做基向量.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.三、数学运用【例1】 (教材第88页例
4、1)如图,在正方体OADB-CA'D'B'中,E是AB与OD的交点,M是OD'与CE的交点,试分别用向量,,表示向量和.(见学生用书P53)(例1)[规范板书] 解 因为=+,所以=+=++.由△OME∽△D'MC,可得OM=MD'=OD',所以==++.[题后反思] 重视平面几何知识在解题过程中的灵活应用.【例2】 如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,用基底向量,,表示向量.(见学生用书P54)(例2)[规范板书] 解 因为M,N分别是对边OA,BC的中点,所以=,=+,
5、则=+=+=+(-)=+=++.[题后反思] 运用空间向量的线性运算,将空间向量转化为平面向量.【例3】 已知向量{e1,e2,e3}为空间的一个基底,试问:向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?并说明理由.(见学生用书P54)[处理建议] 用反证法,先假设a,b,c共面,再根据共面向量定理看是否满足共面的条件.[规范板书] 解 假设a,b,c共面.由共面向量定理可知,存在三个不全为零的实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,即x(3e1+2e2+e3)+y(-e1+e2+3e3)
6、+z(2e1-e2-4e3)=0,亦即(3x-y+2z)e1+(2x+y-z)e2+(x+3y-4z)e3=0.由e1,e2,e3不共面,得解得不妨令x=-1,则y=7,z=5.于是a=7b+5c,所以a,b,c三向量共面.[题后反思] 以向量{e1,e2,e3}为空间的一个基底表示向量a,b,c,重点考查共面向量定理和线性运算.运用了方程的思想.四、课堂练习1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心.若=+x+y,则x-y= 0 . 提示 因为=+=+=+(+),所以x=y=,则x-y=0.2.“向量a,
7、b,c不共面”是“{a,b,c}为基底”的充要条件.3.已知是空间的一个基底,给出下列四组向量:①;②;③{a+2b,2b+3c,3a-9c};④.其中能构成空间的一个基底的有 ①②④ . 提示 ③不能构成空间的一个基底,因为-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0.4.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若pa+qb+c与a+pb+qc共线,则实数p= 1 ,q= 1 . 五、课堂小结1.本节课主要学习了空间向量的基本定理及其推论、基底的概念.2.运用代数的方法判断向量是否共面.
