空间向量基本定理

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1、§9.5.4空间向量的基本定理教学目标：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）．教学难点：空间作图．教学方法：讲授法．教学过程设计：一、复习引入1．复习向量与平面平行、共面向量的概念．区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．2．空间共面向量定理及其推论．（1）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向

2、量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得p=xa+yb．（2）共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，或对于空间任意一定点O，有．②③今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．二、新课讲授问题1：右图中的向量、、是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？．由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量．问题2：如果向量、、分别和向量

3、a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc事实上，对空间任一向量，我们都可以构造出上述平行六面体，由此我们得到了空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p＝xa+yb+zc．证明：存在性：（见课本P31）唯一性：设另有一组实数x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，则有xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0．∵a、b、c不共面，∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0，　即x＝x’且y

4、＝y’且z＝z’．故实数x、y、z是唯一的．由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．由定理的证明过程（P32第一行）可以得到下面的推论：设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、

5、z，使．说明：若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．例４（见课本P32）三、课堂练习课本P32练习四、课时小结⒈空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．⒉空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．五、课后作业⒈课本P36习题9.5⒈⒉教学后记：