2012北京市海淀区高三考前查漏补缺题(数学)

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数学查漏补缺题说明：查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充，题目以中档题为主，部分题目是弥补知识的漏洞，部分是弥补方法的漏洞，还有一些是新的变式题，请老师们根据学生的情况有选择地使用或改编使用．最后阶段的复习，在做好保温工作的前提下，指导学生加强反思，梳理典型问题的方法，站在学科高度建立知识之间的联系，融会贯通，以进一步提升学生的分析、解决问题的能力为重点．1、已知原命题：“若，则，中至少有一个不小于”，则原命题与其否命题的真假情况是　　　　（）A．原命题为真，否命题为假B．原命题为假，否命题为真C．原命题与否命题均为真命题D．原命题与否命题均为假命题2、在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数，，，，的部分图象，则函数的图象通过的阴影区域是（）A．B．C．D．3、若直线(为参数)与圆（为参数）相切，则（）ABCD4、若，则的值为（）A．B．C．D．5、定义在R上的函数满足，当x∈（0，1]时，，设，，，则，，大小关系是（）A．B．C．D．6、设集合，或．若，则正实数的取值范围是A．B．C．D． 7、函数的图象是（）A．B．C．D．8、若的展开式中不含的项，则的值可能为（）A．B．C．D．9、函数的图象的对称轴是．10、设曲线的极坐标方程为，则其直角坐标方程为．11、以原点为顶点，以轴正半轴为始边的角的终边与直线垂直，则_____________．12、设函数，其中．若对任意恒成立，则正数的最小值为_________，此时，=____________．13、在区间上随机的取两个数，，使得方程有两个实根的概率为_______．14、从54张扑克牌中抽出一张，抽到的扑克牌为梅花的概率为________,抽到的扑克牌为K的条件下恰好是梅花的概率为_________．15、已知向量，满足：，则与的夹角为　　　　；．16、某单位员工按年龄分为老、中、青三组，其人数之比为1:5:3，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为18的样本，已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为________人。17、将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则四棱锥的体积是___________． 18、一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30°角．轮船沿航线前进600米到达处，此时观测到灯塔在北偏西45°方向，灯塔在北偏东15°方向．则两灯塔之间的距离是__________米．19、已知点为曲线与的公共点，且两条曲线2BCAyx1O34561234在点处的切线重合，则=．20、如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；函数在处的导数；函数的极值点是；=．21、如图，是⊙的一段劣弧，弦平分交于点，切于点，延长弦交于点，（1）若，则，（2）若⊙的半径长为，，则22、已知函数（其中）．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求在上的最大值与最小值．23、某班同学寒假期间在三个小区进行了一次有关“年夜饭在哪吃”的调查，若年夜饭在家吃的称为“传统族”，否则称为“前卫族”，这两类家庭总数占各自小区家庭总数的比例如下：A小区传统族前卫族比例B小区传统族前卫族比例 C小区传统族前卫族比例（Ⅰ）从A,B,C三个小区中各选一个家庭，求恰好有2个家庭是“传统族”的概率(用比例作为相应的概率)；（Ⅱ）在C小区按上述比例选出的20户家庭中，任意抽取3户家庭，其中“前卫族”家庭的数量记为X，求X的分布列和期望．24、申请某种许可证，根据规定需要通过统一考试才能获得，且考试最多允许考四次．设表示一位申请者经过考试的次数，据统计数据分析知的概率分布如下：1234P0．10．30．1（Ⅰ）求一位申请者所经过的平均考试次数；（Ⅱ）已知每名申请者参加次考试需缴纳费用（单位：元）,求两位申请者所需费用的和小于500元的概率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,4位申请者中获得许可证的考试费用低于300元的人数记为，求的分布列．25、在中，角，，所对的边长分别是，，．满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值．26、设数列的前项和为，且满足．（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求通项公式；（Ⅲ）若数列是首项为1，公差为2的等差数列,求数列的前项和为．27、已知抛物线，为坐标原点．（Ⅰ）过点作两相互垂直的弦,设的横坐标为，用表示△的面积，并求△面积的最小值；（Ⅱ）过抛物线上一点引圆的两条切线,分别交抛物线于点,连接，求直线的斜率．28、若圆C过点M（0，1）且与直线相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B（A在y轴的右侧）为曲线E上的两点，点，且满足 （Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证：t与均为定值． 参考答案：1．A2．C3．A4．D5．B6．B7．A8．D9．10．11．或12．2，13．14．，15．，16．解：按分层抽样应该从老年职工组中抽取人，所以不妨设老年职工组共有人，则甲乙二人均被抽到的概率为：，解得：，所以该单位共有员工人．17．18．19．20．，，，21．110°,22．（Ⅰ）解：．令，解得：．因为当时，；当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．,所以在上的最大值为，最小值为．当时，．因为，所以，即，，即．综上所述，当时，在上取得最大值；当时，在 上取得最小值．23．解：（Ⅰ）记这3个家庭中恰好有2个家庭是传统族为事件M．．(Ⅱ)在C小区选择的20户家庭中,“前卫族”家庭有5户，X的可能取值为0，1，2，3．则；；；；所以X的分布列为X0123P24．解：（Ⅰ）由的概率分布可得．．．所以一位申请者所经过的平均考试次数为2．4次．（Ⅱ）设两位申请者均经过一次考试为事件，有一位申请者经历两次考试一位申请者经历一次考试为事件，两位申请者经历两次考试为事件，有一位申请者经历三次考试一位申请者经历一次考试为事件．因为考试需交费用,两位申请者所需费用的和小于500元的事件为．所以两位申请者所需费用的和小于500元的概率为0．61．（Ⅲ）一位申请者获得许可证的考试费用低于300元的概率为，的可能取值为0,1,2,3,4．,, ,．的分布列为0123425．解：（Ⅰ）由正弦定理及得，．在中，，，即．又，，．．．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即．，，当，即时，取得最大值．26．证明：（Ⅰ）因为,所以．又,所以是首项为，公比为的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．当时，．当时，． 故．（Ⅲ）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以．所以．所以．所以．所以．所以．27．解：（Ⅰ）设．由得．因为所以．所以．所以．所以当时，△面积取得最小值1．（Ⅱ）设，直线AB的方程为，AC的方程为．因为直线与圆相切，所以．所以．所以是方程的两根．所以．由方程组得． 所以，同理可得：．所以直线的斜率为．28．解、（Ⅰ）因为点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，根据抛物线定义可知，点C的轨迹是以点M为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：．（Ⅱ）因为t=6，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程是．由得点A，B的坐标分别是．因为，所以抛物线在点A处切线的斜率为．所以直线NA的方程为．由线段AB的中点得线段AB的垂直平分线方程为，即．由得即．所以圆C的方程为．（Ⅲ）设．由可知，是方程即的两根，所以．又因为A，P，B共线，所以．即．所以．即．所以 ．所以t与均为定值．