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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.1直线的方向向量与平面的法向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．知识点一 直线的方向向量直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．知识点二 平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．思考 1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答案 相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法
2、向量是否惟一？是否相等？答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等．题型一 直线的方向向量及其应用例1 设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案 2解析 由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m＝2.反思与感悟 若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行．跟踪训练1 若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8
3、,2,2)，则l1与l2的位52017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案置关系是________．答案 垂直解析 因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2.题型二 求平面的法向量例2 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．解 如图，以A为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，
4、D(，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，则＝(，1,0)，＝(－，0,1)．易知向量＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，则即取x＝2，则y＝－1，z＝1，∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到
5、平面的一个法向量．跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由题意知＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．∵n⊥，n⊥，∴52017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案解得令x＝1，则y＝z＝1.∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．题型三 证明平面的法向量例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：是平面ADE的法向量．证明 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD
6、1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0，，0)，所以＝(－1,0,0)，＝(0，，－1)，＝(0,1，)，所以·＝(－1,0,0)·(0，，－1)＝0，·＝(0,1，)·(0，，－1)＝0，所以⊥，⊥，又AD∩AE＝A，所以⊥平面ADE，从而是平面ADE的法向量．反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．跟踪训练3 已
7、知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，设F(0,0，h)，E(m,1,1)，则＝(0,1,0)，＝(m－1,0,1)，＝(1,0,1－h)．52017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案∵·＝0，∴AB⊥B1E.若是平面ABF的法向量，则·＝m－1＋1－h＝m－h＝0，∴h＝m.即E、F
8、满足D1F＝CE时，是平面ABF的法向量．故存在，且E、F满足D1F＝CE.利用向量法判断直线与平面平行例4 已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________．错解 因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，所以u⊥a，所以l∥α.错因
