§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

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时间:2017-11-12

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1、§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量§321直线的方向向量与平面的法向量【学情分析】:教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示,并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学【教学目标】:(1)知识与技能:理解直线的方向向量和平面的法向量;会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系(2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合的思想方法,加深对相关知识的理解。

2、(3)情感态度与价值观:开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势【教学重点】:平面的法向量【教学难点】:用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系【教学过程设计】:教学环节教学活动设计意图一、复习引入1.两个非零向量共线的充要条是什么?2.什么叫直线的方向向量?3.回顾平面向量基本定理。为探索新知识做准备二、探究新知一、点、直线、平面的位置的向量表示1思考:如何确定一个点在空间的位置?如图,在空间中,我们取一点作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量表示.称向量为点的位置向量。2思

3、考:在空间中给定一个定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空间的位置吗?如图,点A和不仅可以确定直线l的位置,还可以具体表示出l上的任意一点P。3思考:给定一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗? 如图,点和、不仅可以确定平面的位置,还可以具体表示出内的任意一点P4思考:给定一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?法向量:若,则叫做平面的法向量。如图,过点A,以为法向量的平面是完全确定的二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l、的方向向量分

4、别为、,平面的法向量分别为探究1:平行关系1,线线平行:2,线面平行:3,面面平行:探究2:垂直关系1,线线垂直:2,线面垂直:3,面面垂直:要求学生自己寻找空间中的几何元素点、直线、平面的位置的向量表示方法。通过对对称轴不同作法的探讨,拓展学生的思维让学生对每一种关系都进行探究,找到相应的向量关系和运算公式。三、练习巩固1.设直线l,的方向向量分别为,根据下列条判断l,的位置关系:答案:(1)平行;(2)垂直;(3)平行。2设平面的法向量分别为,根据下列条判断平面的位置关系:答案:(1)垂直;(2)

5、平行;(3)相交,交角的余弦为。巩固知识,培养技能四、训练与提高1.已知点是平行四边形所在平面外一点,如果,,(1)求证:是平面的法向量;(2)求平行四边形的面积.(1)证明:∵,,∴,,又,平面,∴是平面的法向量.(2),,∴,∴,∴,∴.引导学生进行应用对法向量作理解巩固以往知识,培养运算技能五、小结1.点、直线、平面的位置的向量表示。2.线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。反思归纳六、作业A,预习本10~110的例题。B,书面作业:1,练习与测试:(基础题)1,与两点和所成向量同方向的

6、单位向量是。解:向量,它的模则所求单位向量为。2,从点沿向量的方向取长为6的线段,求点坐标。解:设点坐标为,由题设有;由可得。则,于是所求坐标为。3,设直线l,的方向向量分别为,判断l,的位置关系。解:因为(1,2,3)(-3,0,1)=0,所以两直线垂直。4,设平面的法向量分别为,判断平面的位置关系。解:易知所给二法向量平行,故平面平行。(中等题),已知空间四点坐标分别为A(1,0,0)、B(1,1,0)、E(1,1/2,1)、F(0,1/2,0),求平面AEF的单位法向量。解:设平面AEF的法向量

7、为则有为平面AEF的单位法向量。6,如图所示建立坐标系,有分别求平面SAB与平面SD的法向量,并求出它们夹角的余弦。解:因为轴平面SAB,所以平面SAB的法向量为设平面SD的法向量为,由

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