奥数第7讲[1].竞赛123班.教师版_染色与操作问题[1]

奥数第7讲[1].竞赛123班.教师版_染色与操作问题[1]

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1、五年级奥数第十三讲染色中的抽屉原理例1:平面上有ABCDE点。。。染色问题这里的染色问题不是要求如何染色,然后问有多少种染色方法的那类题目,它指的是一种解题方法。染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法,通过将问题中的对象适当染色,我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系,再经过一定的逻辑推理,便能得出问题的答案。这类问题不需要太多的数学知识,但技巧性、逻辑性较强,要注意学会几种典型的染色方法。【例1】六年级一班全班有名同学,共分成排,每排人,坐在教室里,每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。如果要让这名同学各人都恰好坐到他的邻座上去,能办到吗?为什么?【分析】划一个的方格表,其中

2、每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色,这样黑色座位与白色座位都成了邻座。因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格,所有黑格的坐到白格。但实际上图中有个黑格,个白格,黑格与白格的个数不相等,故不能办到。【例2】右图是学校素质教育成果展览会的展室,每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从室开始依次而入,不重复地看过各室展览之后,仍回到室,问他的目的能否达到,为什么?【分析】采用染色法。如右下图,共有个展览室,对这个展览室,黑白相间地进行染色,从白室出发走过第扇门必至黑室,再由黑室走过第扇门至白室,由于不重复地走遍每一间展览室,因此将走过黑白相间的个展览室,再回到白室,

3、共走过扇门。由于走过奇数次门至黑室,走过偶数次门至白室。现在,走过扇门,必至黑室,所以无法回到原来的白室。[巩固]有一次车展共个展室,如右图,每个展室与相邻的展室都有门相通,入口和出口如图所示。参观者能否从入口进去,不重复地参观完每个展室再从出口出来?[分析]如右下图,对每个展室黑白相间染色,那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。由于入口处和出口处都是白格,而路线黑白相间,首尾都是白格,于是应该白格比黑格多个,而实际上白格、黑格都是个,故不可能做到不重复走遍每个展室。【例3】右图是半张中国象棋盘,棋盘上放有一只马。众所周知,马是走“日”字的。请问:这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个

4、点,然后回到出发点?【分析】马走“日”字,在中国象棋盘上走有什么规律呢?为方便研究规律,如下图所示,先在棋盘各交点处相间标上○和●,图中共有22个○和23个●。因为马走“日”字,每步只能从○跳到●,或由●跳到○,所以马从某点跳到同色的点(指○或●),要跳偶数步;跳到不同色的点,要跳奇数步。现在马在○点,要跳回这一点,应跳偶数步,可是棋盘上共有个点,所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点。讨论:如果马的出发点不是在○点上而是在●点上,那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点,最后回到出发点上呢?按照上面的分析,显然也是不可能的。但是如果放弃“回到出发点”的要求,那么情况就不一样

5、了。从某点出发,跳遍半张棋盘上除起点以外的其它个点,要跳步,是偶数,所以起点和终点应是同色的点(指○或●)。因为步跳过的点○与点●各个,所以起点必是●,终点也是●。也就是说,当不要求回到出发点时,只要从●出发,就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点。【例4】右图是由个大小相同的方格组成的图形。试问能不能剪裁成个由相邻两方格组成的长方形?【分析】将这个小方格黑白相间染色(见右下图),有个黑格,个白格。相邻两个方格必然是一黑一白,如果能剪裁成个小长方形,那么个格应当是黑、白各个,与实际情况不符,所以不能剪裁成个由相邻两个方格组成的长方形。【例5】个和个能否盖住的大正方形?【分析】如右图,对的正方形

6、黑白相间染色后,发现必然盖住白黑,个则盖住白黑。则盖住了白黑或黑白,从奇偶性考虑,都是奇数。而这种形状共个,奇数个奇数相加仍为奇数,故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数,加上另一种形状的白黑,两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格。但实际染色后共个白格个黑格,故不可能按题目要求盖住。注意:本题中每个盖白黑或黑白,个这种形状盖住的不一定是白黑或黑白,因为可能一部分盖白黑,另一部分盖黑白。这是一个容易犯错的地方。[前铺]能否用个所示的卡片拼成一个的棋盘?[分析]不能。将的棋盘黑白相间染色(见右图),有个黑格。而每张卡片盖住的黑格数只能是或者,所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数,张卡片盖住的黑格数之和也是

7、奇数,不可能盖住个黑格。[巩固]如右图,缺两格的方格有个格,能否用个图不重复地盖住它且不留空隙?[分析]这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。用来覆盖,则用黑白相间染色,可以发现它无论横放、竖放,必然盖住一白一黑。要不重复不留空白,那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。但从染色后整个图来看,黑格个,白格个,故不可能将整个图不重不漏地盖住。【例5】用若干个和的小正方形能不能拼成一个的大正方形?请说明理由。

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