二次函数的图象分析

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1、二次函数的图象分析一、基本概念:对于二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0) 1．函数图象开口方向决定a的符号，开口向上，a>0，开口向下，a<0． 2．对称轴的位置决定a，b符号的异同，对称轴为，对称轴在x轴的负半轴时a，b同号，对称轴在x轴的正半轴时a，b异号． 3．函数图象与y轴的交点位置决定c的符号，当图象与y轴的交点在正半轴时c>0，交点在负半轴时c<0． 4．函数图象与x轴交点的横坐标为x1，x2，由根与系数的关系知：，． 5．函数图象一般来说与x轴有交点，则． 二、基本类型 （一）对称轴不明确型 【例1】（2005年非课改

2、区中考试题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（x1，0），（x2， 0），且01  ②3a+b>0 ③a+b<2   ④a<-1，其中正确的个数有（    ） (A)1个  (B)2个  (C)3个  (D)4个  （二）基本方法 方法1：数形结合法 1．先确定a，b，c的符号，2．根与系数的关系．3．由特殊点列出等式与不等式．4．灵活运用上述3个步骤中的条件逐步验证各个待定结论． 【解析】画出草图，如图，由图象可知：a<0，b>0，c＝－2，∵

3、00，结论③错误，由，得，两边同时乘以a，得0>－2>2a，∴a<－1，结论④正确，当x＝1时，y＝a＋b－2>0，故a＋b>2，结论③错误，当x＝2时，y＝4a＋2b－2<0，∴2a＋b<1，结论①也不对，故选A. 方法2:赋值法 ∵0

4、析式为＝＝∴a＝，b＝，c＝－2，∴2a＋b＝+<1，3a＋b=＋<0，a＋b=＋>2，a＝<－1，容易验证只有一个结论是正确的，故选A. 点评：由于本题中x1，x2的范围限定得很窄，加上过一个定点，我们就可以从特殊值的角度来确定二次函数的y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式，将解析式中a，b，c的值求出，分别代入各待定结论中，加以验证，存真去伪，本法解题快捷，易于操作. （三）对称轴明确型  【例2】（2006年中考试题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴为x＝－1，交x轴的一个交点为（x1，0），且0

5、列结论：①9a－3＋c>0 ②b0，其中正确的个数有（  ）(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个 【解析】画出大致草图如右，由图象可知：a>0，b>0，c<0，由图象的对称性知，x＝－3时，y＝9a－3b＋c>0，则结论①正确，∵对称轴是x＝－1，即，　∴b＝2a，b－a=2a－a=a>0，则b>a，结论②错误，当x=1，∴a＋b＋c>0，∵b=2a，　∴3a＋c>0，结论③正确.　∴①③正确.故选C.函数与方程、不等式函数与方程、不等式是初中代数的重要内容，在中考中占有相当大的比重，且在问题的设置上灵活多

6、变，对于这些内容的考查大致可分为以下三种：　1.函数与方程、不等式的综合型题目解决这类题目应重点关注一次函数、反比例函数和二次函数的图象与性质；要会用函数观点来理解方程与不等式；会利用一次函数图象求二元一次方程组的近似解；会利用二次函数求一元二次方程的近似解；会通过观察图象比较两个函数值的大小.　2.函数与方程、不等式的实际应用型题目　代数中的应用型问题向来是中考解答题中的重要组成部分，通常以函数与方程的综合题为主，有时还可以与不等式的知识相结合，用来确定自变量的取值范围.函数与方程的综合题中，二者的联系表现在：　（1）把求函数值，或

7、由函数值求自变量的问题，转化为相应的方程问题；　（2）求函数的解析式，往往要根据题意列出方程或者方程组求解；　（3）以x为自变量的函数y，其图象与x轴（y轴）的交点问题，即为求当y=0（x=0）时的方程的解的问题；　（4）两个函数图象的交点问题，就是由两个函数解析式组成的方程组的解的问题.　解决这类问题要注意以下几点：　（1）应树立信心，抛开情节的束缚.因为这类题目实际上是套上实际背景的简单的纯数学问题；　（2）学会化简问题，面对一道实际应用问题应一边阅读一边思考，把相关的重要量、条件用线画出来；　（3）把关键的字、词、句中生活化的语

8、言转化为数学语言.　3.函数、方程及不等式与几何的综合题　代数与几何的综合题是初中数学中涵盖面广、综合性最强的题型，一般题量较大，梯度明显，代数知识主要涉及方程、函数、不等式等；几何知识主要涉及三角形、四边形、相似形、圆